Некоторые виды сходимости

Этот результат касается единственности.

Предположим, что $f_{n} \xrightarrow {\mu } f$ и $g_{n} \xrightarrow {\mu } g$.

Предположим, что $f_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} f$ и $g_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} g$.

Предположим, что для каждого $n \in \mathbb {N}$, $f_{n}=g_{n}$ $\mu$-п.в.

Докажите следующие утверждения, связывающие сходимость по $\mu$-мере со сходимостью $\mu$-п.в.

Предположим, что $\varphi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна.

Пусть $\Omega = [0, 1]$, пусть $\mathcal{F} = \left\{ B \subseteq [0,1] : B \in \mathcal{L}\right\}$, и пусть $\mu$ обозначает сужение меры Лебега $\overline{\lambda }$ на $\mathcal{F}$. Пусть $A_{1}=[0,1]$, $A_{2}=[0, \frac{1}{2}]$, $A_{3}=[\frac{1}{2}, 1]$, $A_{4}=[0, \frac{1}{4}]$, $A_{5}=[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$, $A_{6}=[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$, $A_{7}=[\frac{3}{4}, 1]$, $A_{8}=[0, \frac{1}{8}]$, и т. д. На $\Omega$ определим $f_{n}=\; \mathbb {1}_{A_{n}}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Рассмотрим пространство с мерой $(\mathbb {R}, \mathcal{L}, \overline{\lambda })$, и пусть $f_{n}(\omega )=\; \mathbb {1}_{[n, n+1]}(\omega )$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ и $\omega \in \mathbb {R}$.

Если $\mu (\left\{ \omega \in A : \left|f_{n}(\omega )-f(\omega )\right|>\epsilon \text{ для бесконечно многих } n\right\} )=0$ для каждого $\epsilon >0$, то $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в.

Мы предполагали на протяжении всего раздела 5.6, что функции $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ имеют область определения $A$ и конечнозначны. Мы можем обобщить предыдущие определения и рассуждения на случай, когда каждая из $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ определена $\mu$-п.в. на $A$, и каждая из $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ конечна $\mu$-п.в. на $A$. Пусть $B$ обозначает множество $\omega \in A$ таких, что (i) $f(\omega )$ определена и конечна, и (ii) $f_{n}(\omega )$ определена и конечна для каждого $n \in \mathbb {N}$. Тогда

а $A - B$ является счётным объединением $\mu$-нулевых множеств, так что $\mu (A-B)=0$. Мы можем поэтому разложить $A$ на два непересекающихся $\mathcal{F}$-множества $B$ и $A-B$ и рассматривать $g, g_{1}, g_{2}, \ldots$ как $\mathcal{F}/\mathfrak {B}^{*}$-измеримые функции с областью определения $B$ и областью значений, содержащейся в $\mathbb {R}$, где $g, g_{1}, g_{2}, \ldots$ обозначают сужения $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ (соответственно) с их соответствующих областей определения на $B$. Мы говорим, что $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $A$ тогда и только тогда, когда $\mu (\left\{ \omega \in B : g_{n}(\omega ) \not\rightarrow g(\omega )\right\} )=0$, т. е. тогда и только тогда, когда $g_{n} \rightarrow g$ $\mu$-п.в. на $B$; и мы говорим, что $f_{n} \rightarrow f$ по $\mu$-мере на $A$ тогда и только тогда, когда $g_{n} \rightarrow g$ по $\mu$-мере на $B$, т. е. тогда и только тогда, когда для каждых $\epsilon >0$ и $\delta >0$ имеем $\lim_{n} \mu (\left\{ \omega \in B : \left|g_{n}(\omega )-g(\omega )\right|>\delta \right\} )=0$.

Сформулируйте и докажите утверждение 2 в этой более общей обстановке. Следуйте духу примера, данного ранее для собственного обобщения утверждения 1: утверждение 1 гласит, что если $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает пространство с мерой и $A \in \mathcal{F}-\left\{ \varnothing \right\}$, и если $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ являются $\mathcal{F}/\mathfrak {B}^{*}$-измеримыми функциями, определёнными и конечными $\mu$-п.в. на $A$, такими, что $f_{n} \rightarrow f$ по $\mu$-мере, то существует подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty }$ последовательности $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ такая, что $f_{n_{k}} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $A$; это доказывается применением исходной (всюду определённой, конечнозначной) версии утверждения 1 к $g, g_{1}, g_{2}, \ldots$ на $B$, чтобы получить подпоследовательность $\left\{ g_{n_{k}}\right\}$ с $g_{n_{k}} \rightarrow g$ $\mu$-п.в. на $B$, что по определению означает $f_{n_{k}} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $A$.

Утверждение 2 (результат, который здесь обобщается): Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает пространство с мерой с $\mu (\Omega )<+\infty$. Возьмём непустое $A \in \mathcal{F}$. Предположим, что (i) каждая из $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ является $\mathcal{F}/\mathfrak {B}^{*}$-измеримой с областью определения $A$ и областью значений, содержащейся в $\mathbb {R}$, и (ii) $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $A$. Тогда для любых $\epsilon >0$ и $\delta >0$ мы можем найти множество $B \in \mathcal{F}$ и $n_{0} \in \mathbb {N}$ такие, что $\mu (B^{c})<\epsilon$ и $\left|f_{n}(\omega )-f(\omega )\right|<\delta$ для каждого $\omega \in B$ и $n \geqslant n_{0}$.

Сформулируйте и докажите утверждение 3, из более ранней части раздела 5.6, в более общей обстановке $\mu$-п.в.-на-$A$/по-$\mu$-мере-на-$A$, введённой в задаче 5.6.10 (где каждая из $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ предполагается лишь определённой и конечной $\mu$-п.в. на $A$, а не всюду на $A$).

Утверждение 3 (результат, который здесь обобщается): Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает пространство с мерой с $\mu (\Omega )<+\infty$, и пусть $\varnothing \subsetneq A \in \mathcal{F}$. Предположим, что каждая из $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ является $\mathcal{F}/\mathfrak {B}^{*}$-измеримой с областью определения $A$ и областью значений, содержащейся в $\mathbb {R}$, такой, что $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $A$. Тогда $f_{n} \rightarrow f$ по $\mu$-мере на $A$.

Сформулируйте и докажите утверждение 4 (теорему Егорова), из более ранней части раздела 5.6, в более общей обстановке $\mu$-п.в.-на-$A$/по-$\mu$-мере-на-$A$, введённой в задаче 5.6.10 (где каждая из $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ предполагается лишь определённой и конечной $\mu$-п.в. на $A$, а не всюду на $A$).

Утверждение 4 (теорема Егорова, результат, который здесь обобщается): Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает пространство с мерой с $\mu (\Omega )<+\infty$, и пусть $A \in \mathcal{F}$ непусто. Пусть каждая из $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ является $\mathcal{F}/\mathfrak {B}^{*}$-измеримой функцией с областью определения $A$ и областью значений, содержащейся в $\mathbb {R}$, такой, что $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $A$. Тогда для каждого $\epsilon >0$ найдётся $B \in \mathcal{F}$ такое, что $\mu (B^{c})<\epsilon$ и $f_{n} \rightarrow f$ равномерно на $B$. (Грубо говоря, это означает, что если $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в., то $f_{n} \rightarrow f$ равномерно, за исключением множества сколь угодно малой $\mu$-меры — то есть $f_{n} \rightarrow f$ «равномерно почти всюду».)