Обобщённое определение измеримости

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает пространство с мерой, пусть $\Omega^{\prime }$ обозначает непустое множество с $\mathcal{F}^{\prime }$ — $\sigma$-алгеброй подмножеств $\Omega^{\prime }$, и пусть $f: A \rightarrow \Omega^{\prime }$ (где $A \in \mathcal{F}$ непусто) является $\mathcal{F} / \mathcal{F}^{\prime }$-измеримым, т.е. $f^{-1}(A^{\prime }) \in \mathcal{F}$ для каждого $A^{\prime } \in \mathcal{F}^{\prime }$. Пусть $\nu : \mathcal{F}^{\prime } \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает меру, индуцированную $f$, задаваемую для всех $A^{\prime } \in \mathcal{F}^{\prime }$ формулой $\nu (A^{\prime }) = \mu (\left\{ \omega \in A: f(\omega ) \in A^{\prime }\right\} ) = \mu \left(f^{-1}(A^{\prime })\right)$ (также записывается как $\nu = \mu \circ f^{-1}$).

Относительно меры $\nu$:

Модифицируйте (MF14) и докажите его в более общей постановке этого раздела.

(MF14): Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает полное пространство с мерой. Выберем непустое $A$ в $\mathcal{F}$, и пусть $f$ определена $\mu$-п.в. на $A$ и $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измерима. (a) Если $g$ определена $\mu$-п.в. на $A$ и $f=g$ $\mu$-п.в. на $A$, то $g$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой. (b) Если $g$ определена всюду на $A$ и $f=g$ $\mu$-п.в. на $A$, то $g$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.