Почти всюду

В (MF15) полнота ( $\Omega , \mathcal{F}, \mu$ ) не является избыточным предположением.

(MF15): Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает полное пространство с мерой, и пусть $A \in \mathcal{F} - \left\{ \varnothing \right\}$. Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримых функций, каждая из которых определена $\mu$-п.в. на $A$. Предположим, что $f$ определена $\mu$-п.в. на $A$ и что $\lim_{n} f_{n}(\omega ) = f(\omega )$ $\mu$-п.в. на $A$. Тогда $f$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Предположим, что $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — дифференцируемая функция. Тогда $f^{\prime }$ является борелевски измеримой функцией.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$. Утверждение $f$ непрерывна почти в каждой точке $x \in \mathbb {R}$ не влечёт и не следует из утверждения существует непрерывная $g: \mathbb {R} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такая, что $f=g$ $\mu$-п.в. на $\mathbb {R}$.