Измеримость

Пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой. Пусть $y \in \overline{\mathbb {R}}$, и пусть $h: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ таково, что

Тогда $h$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Существует непрерывная функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ и подмножество $A \subseteq \mathbb {R}$ такие, что $A \in \mathscr {L}$, но $f^{-1}(A) \notin \mathscr {L}$.

Используя обозначения и структуру раздела 4.7 и предыдущего упражнения, имеем $I_{B}=I_{\phi^{-1}(B)} \circ \phi^{-1}$, и $I_{\phi^{-1}(B)}$ является $\mathcal{L} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой, в то время как $I_{B}$ не является $\mathcal{L} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой. Следовательно, $\mathcal{L} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримая функция от гомеоморфизма не обязательно является $\mathcal{L} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Лебегово измеримая функция не обязательно является борелевски измеримой.

Пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой.

Если $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что $f^{-1}(\left\{ x\right\} ) \in \mathcal{F}$ для каждого $x \in \overline{\mathbb {R}}$, то $f$ не обязательно является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Если $A \subseteq \mathbb {R}$ — интервал любого типа и $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ монотонна, то $f$ является одновременно борелевски и лебегово измеримой.

Пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}^{k}$ задана правилом $f(\omega )=\left(f_{1}(\omega ), \cdots , f_{k}(\omega )\right)$, где $f_{i}: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ — функция, $i=1, \cdots , k$. Тогда $f^{-1}(B) \in \mathcal{F}$ для каждого $B \in \mathfrak {B}^{k*}$ тогда и только тогда, когда $f_{i}$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой для $i=1, \cdots , k$.

$\mathfrak {B}^{k}$ — минимальное $\sigma$-поле $\mathcal{F}$ на $\mathbb {R}^{k}$ такое, что каждая непрерывная функция $f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\sigma (\mathcal{A}) / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой, где $\mathcal{A} \subseteq 2^{\Omega }$. Существует не более чем счётная подсовокупность $\mathcal{A}_{f}$ множества $\mathcal{A}$ такая, что $f$ является $\sigma (\mathcal{A}_{f}) / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой.

Пусть $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, и предположим, что $\Omega =\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}$, где $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — непересекающиеся $\mathcal{F}$-множества [ $\mathcal{F}$ — $\sigma$-поле на $\Omega$ ]. Пусть $\mathcal{F}_{n}=\left\{ A \in \mathcal{F}: A \subset A_{n}\right\}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$. Тогда $\mathcal{F}_{n}$ является $\sigma$-полем для каждого $n \in \mathbb {N}$. Пусть $f_{n}$ обозначает сужение $f$ с $\Omega$ на $A_{n}, n \in \mathbb {N}$. Тогда $f$ является $\mathcal{F} / \mathscr {B}^{*}$-измеримой тогда и только тогда, когда $f_{n}$ является $\mathcal{F}_{n} / \mathscr {B}^{*}$-измеримой для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Покажите, что функция $\varphi : \overline{\mathbb {R}} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, заданная в примере 4, является $\mathfrak {B}^{*} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой, надлежащим образом применив (MF6).

Пример 4: Определим $\varphi : \overline{\mathbb {R}} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, полагая $\varphi (x) = 1/x$ для $x \in \overline{\mathbb {R}} \setminus \left\{ 0\right\}$ и $\varphi (0) = 0$ (напомним соглашение $1/(\pm \infty ) = 0$, так что $\varphi$ определена также и в $\pm \infty$).

(MF6): Пусть $A \in \mathcal{F} - \left\{ \varnothing \right\}$, и пусть $A_{1}, \ldots , A_{n}$ обозначают непустые непересекающиеся $\mathcal{F}$-множества с объединением $\Omega$. Предположим, что $f_{i}: A_{i} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой для $i = 1, \ldots , n$. Если $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что $f(\omega ) = f_{i}(\omega )$ тогда и только тогда, когда $\omega \in A_{i}$, то $f$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой. (Это также верно для счётной совокупности $A_{1}, A_{2}, \ldots$ непустых непересекающихся $\mathcal{F}$-множеств с объединением $\Omega$.)

Минимальное $\sigma$-поле $\mathcal{F}$ на $\Omega$ такое, что $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой, есть $f^{-1}\left(\mathfrak {B}^{*}\right)$.

Слово непрерывная в (MF4) может быть заменено на любое из двух: полунепрерывная снизу и полунепрерывная сверху.

(MF4): Пусть $\Omega = \mathbb {R}^{k}$, и пусть $\mathcal{F}$ обозначает произвольное $\sigma$-поле на $\mathbb {R}^{k}$, содержащее открытые подмножества $\mathbb {R}^{k}$. Тогда для любого непустого $A \in \mathcal{F}$ и всякой непрерывной $f: A \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, $f$ является $\mathcal{F} / \mathfrak {B}^{*}$-измеримой. (В доказательстве нет ничего специфического для евклидова пространства: $\Omega$ может быть любым метрическим или топологическим пространством, а $\mathcal{F}$ — любым $\sigma$-полем на $\Omega$, содержащим открытые множества.)