СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ

Совокупность $\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{P}_{\alpha }$ является $\pi$-системой на $\Omega$.

Пусть $\mathcal{A} \subseteq 2^{\Omega }$. Предположим, что $\left\{ \mathcal{P}_{\alpha }: \alpha \in A\right\}$ — «исчерпывающий список» всех $\pi$-систем, содержащих $\mathcal{A}$. Иными словами, каждая $\mathcal{P}_{\alpha } \supseteq \mathcal{A}$, и любая $\pi$-система, содержащая $\mathcal{A}$, совпадает с некоторой $\mathcal{P}_{\alpha }$. Тогда $\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{P}_{\alpha }$ является $\pi$-системой, содержащей $A$. Если $Q$ — $\pi$-система, содержащая $\mathcal{A}$, то $\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{P}_{\alpha } \subseteq Q$. Минимальная $\pi$-система, порождённая $A$, всегда существует.

Предположим, что $\mathcal{P}$ — $\pi$-система с $\mathcal{P} \supseteq \mathcal{A}$, и предположим, что $\mathcal{P}$ содержится в любой другой $\pi$-системе, содержащей $\mathcal{A}$. Тогда $\mathcal{P}=\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{P}_{\alpha }$, с обозначениями как в (b). Минимальная $\pi$-система, содержащая $A$ [которая всегда существует], также единственна.

$\mathscr {L}$ является $\lambda$-системой тогда и только тогда, когда $\mathscr {L}$ удовлетворяет ( $\lambda_{1}$ ), ( $\lambda_{2}^{\prime }$ ) и ( $\lambda_{3}$ ).

Каждая $\lambda$-система дополнительно удовлетворяет ( $\lambda_{4}$ ), ( $\lambda_{5}$ ) и ( $\lambda_{6}$ ).

$\mathscr {L}$ является $\lambda$-системой тогда и только тогда, когда $\mathscr {L}$ удовлетворяет ( $\lambda_{1}$ ), ( $\lambda_{2}^{\prime }$ ) и ( $\lambda_{5}$ ).

${ }^{1}$ Условия таковы: $\left(\boldsymbol {\lambda }_{\mathbf{1}}\right) \quad \Omega \in \mathscr {L}$; ( $\boldsymbol {\lambda }_{\mathbf{2}}$) $A \in \mathscr {L} \Longrightarrow A^{c} \in \mathscr {L}$; ( $\boldsymbol {\lambda }_{\mathbf{2}}^{\prime }$) $\quad A, B \in \mathscr {L} \& A \subseteq B \Longrightarrow B \backslash A \in \mathscr {L}$; ( $\boldsymbol {\lambda }_{\mathbf{3}}$) Для любых непересекающихся $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \subseteq \mathscr {L}, \bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n} \in \mathscr {L}$; (λ4) $\quad A, B \in \mathscr {L} \& A \cap B=\varnothing \Longrightarrow A \cup B \in \mathscr {L}$; ( h $_{\text{5 }}$) $\forall \left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \subseteq \mathscr {L}, A_{n} \uparrow \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n} \in \mathscr {L}$; ( $\boldsymbol {\lambda }_{\mathbf{6}}$) $\quad \forall \left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \subseteq \mathscr {L}, A_{n} \downarrow \Longrightarrow \bigcap_{n=1}^{\infty } A_{n} \in \mathscr {L}$.

Если совокупность $\mathscr {L}$ непуста и удовлетворяет ( $\lambda_{2}$ ) и ( $\lambda_{3}$ ), то $\mathscr {L}$ является $\lambda$-системой.

Совокупность $\bigcap_{\alpha \in A} \mathscr {L}_{\alpha }$ является $\lambda$-системой на $\Omega$.

Предположим, что $\mathcal{A} \subseteq 2^{\Omega }$ таково, что $\mathcal{A}$ содержится в каждой $\mathscr {L}_{\alpha }$, и предположим, что $\left\{ \mathscr {L}_{\alpha }: \alpha \in A\right\}$ — «исчерпывающий список» всех $\lambda$-систем, содержащих $\mathcal{A}$. Тогда $\bigcap_{\alpha \in A} \mathscr {L}_{\alpha }$ является $\lambda$-системой, содержащей $\mathcal{A}$. Если $\mathcal{Q}$ — $\lambda$-система на $\Omega$, содержащая $\mathcal{A}$, то $\bigcap_{\alpha \in A} \mathscr {L}_{\alpha } \subseteq \mathcal{Q}$. Минимальная $\lambda$-система, порождённая $\mathcal{A}$, всегда существует.

Пусть $\mathscr {L}$ обозначает $\lambda$-систему над $\Omega$ с $\mathscr {L} \supseteq \mathscr {A}$, причём $\mathscr {L}$ содержится в любой другой $\lambda$-системе, также содержащей $\mathcal{A}$. Тогда $\mathscr {L}=\bigcap_{\alpha \in A} \mathscr {L}_{\alpha }$, с обозначениями как в (b). Следовательно, $\lambda$-система, порождённая $\mathcal{A}$, всегда существует и единственна.

Некоторые определяют $A$ как полукольцо тогда и только тогда, когда $A$ — непустая $\pi$-система, такая что из $E, F \in \mathcal{A}$ и $E \subseteq F$ следует существование конечной совокупности $C_{0}, C_{1}, \ldots , C_{n} \in$ A с $E=C_{0} \subseteq C_{1} \subseteq \ldots \subseteq C_{n} \subseteq F$ и $C_{i} \backslash C_{i-1} \in \mathcal{A}$ для $i=1, \ldots , n$. Это определение полукольца эквивалентно нашему определению полукольца.

Некоторые определяют $\mathcal{A}$ как полукольцо, постулируя (SR1), (SR2) и следующее свойство: из $A, B \in \mathcal{A}$ следует существование непересекающихся $\mathcal{A}$-множеств $C_{0}, C_{1}, \ldots , C_{n}$ с $B \backslash A=\bigcup_{i=0}^{n} C_{i}$. Заметим, что здесь $B \backslash A$ не обязательно является собственной разностью. Если $\mathcal{A}$ является полукольцом по этому определению, то $\mathcal{A}$ является полукольцом по нашему определению, но обратное не обязательно верно.

$\varnothing$ содержится в каждом кольце.

$\mathcal{R}$ является кольцом тогда и только тогда, когда $\mathcal{R}$ удовлетворяет (R1), (R2) и (R4) из $A, B \in \mathcal{R}$ с $A \subseteq B$ следует $B \backslash A \in \mathcal{R}$.

Каждое кольцо удовлетворяет (R5) из $A, B \in \mathcal{R}$ следует $A \Delta B \in \mathcal{R}$.

Каждое кольцо является $\pi$-системой.

Каждое кольцо замкнуто относительно конечных объединений и конечных пересечений.

$\mathcal{R}$ является кольцом тогда и только тогда, когда $\mathcal{R}$ — непустая $\pi$-система, удовлетворяющая ( $R 4$ ) вместе с (R6) из $A, B \in \mathcal{R}$ и $A \cap B=\varnothing$ следует $A \cup B \in \mathcal{R}$.

$\mathcal{R}$ является кольцом тогда и только тогда, когда $\mathcal{R}$ — непустая $\pi$-система, удовлетворяющая (R5).

Предположим, что $\left\{ \mathcal{R}_{\alpha }: \alpha \in A\right\}$ — «исчерпывающий список» всех колец, содержащих $\mathcal{A}$. Тогда $\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{R}_{\alpha }$ — кольцо, содержащее $\mathcal{A}$, и $\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{R}_{\alpha }$ содержится в любом кольце, содержащем $\mathcal{A}$. Минимальное кольцо, содержащее $\mathcal{A}$, всегда существует и единственно.

Совокупность конечных объединений rsc-интервалов является кольцом на $\mathbb {R}$.

Пусть $\Omega$ несчётно. Совокупность всех amc-подмножеств $\Omega$ является кольцом на $\Omega$.

Каждое кольцо является полукольцом. Однако не каждое полукольцо является кольцом.

Пусть $\mathcal{A}$ обозначает полукольцо на $\Omega$, и пусть $\mathcal{R}$ состоит из конечных непересекающихся объединений $A$-множеств. Тогда $\mathcal{R}$ замкнуто относительно конечных пересечений и непересекающихся объединений.

Если $A, B \in \mathcal{A}$ и $A \subseteq B$, то $B-A \in \mathcal{R}$.

Из $A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{R}$, и $A \subseteq B$ следует $B-A \in \mathcal{R}$.

Из $A, B \in \mathcal{R}$ и $A \subseteq B$ следует $B-A \in \mathcal{R}$.

$\mathcal{R}$ является минимальным кольцом, порождённым $\mathcal{A}$.

Полукольцо, удовлетворяющее (R2), является кольцом.

Пусть дано $\mathscr {C} \subseteq 2^{\Omega }$, обозначим через $\mathscr {C}^{*}$ совокупность всех конечных объединений разностей $\mathscr {C}$-множеств. Если $\operatorname {card}(\mathscr {C})=\aleph_{0}$, то $\operatorname {card}\left(\mathscr {C}^{*}\right)=\aleph_{0}$. Также из $\varnothing \in \mathscr {C}$ следует $\mathscr {C} \subseteq \mathscr {C}^{*}$.

Пусть $\mathcal{A}_{0}=\mathcal{A}$, и определим $\mathcal{A}_{n}=\mathcal{A}_{n-1}^{*}$ для $n \geqslant 1$. Тогда $\mathcal{A} \subseteq \bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{A}_{n} \subseteq \mathfrak {R}(\mathcal{A})$, где $\mathfrak {R}(\mathcal{A})$ — минимальное кольцо, порождённое $\mathcal{A}$, и где [без ограничения общности] $\varnothing \in \mathcal{A}$. Также $\operatorname {card}\left(\bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{A}_{n}\right)=\aleph_{0}$.

$\bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{A}_{n}$ является кольцом на $\Omega$, и из того факта, что $\mathfrak {R}(\mathcal{A})$ — минимальное кольцо, содержащее $\mathcal{A}$, имеем $\bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{A}_{n}=\mathfrak {R}(\mathcal{A})$, и, следовательно, $\operatorname {card}(\mathfrak {R}(\mathcal{A}))=\aleph_{0}$.

Можно обобщить: если $\mathcal{A}$ бесконечно, то $\operatorname {card}(\mathcal{A})=\operatorname {card}(\mathfrak {R}(\mathcal{A}))$.

Если $\mathcal{A}^{\prime }$ — поле на $\Omega^{\prime }$, то $f^{-1}\left(\mathcal{A}^{\prime }\right)$ — поле на $\Omega$.

$f(\mathcal{A})$ может не быть полем над $\Omega^{\prime }$, даже если $\mathcal{A}$ — поле на $\Omega$.

$\mathcal{F}$ является алгеброй на $\Omega$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{F}$ является кольцом на $\Omega$ с $\Omega \in \mathcal{F}$.

$\mathcal{F}$ является алгеброй тогда и только тогда, когда $\mathcal{F}$ является полем. Таким образом, алгебра и поле — синонимы. доказательство. (a: ⟹) Предположим, что $\mathcal{F}$ — алгебра. Тогда, (R1) $\quad \mathcal{F} \neq \varnothing$ по предположению. (R2) $\quad \mathcal{F}$ устойчиво относительно $\cup$ следует из (F3). (R3) Предположение $\Omega \in \mathscr {F}$ и (F2) влекут, что если $A, B \in \mathscr {F}$, то $A^{c}= \Omega -A \in \mathscr {F}$ и $B^{c}=\Omega -B \in \mathscr {F}$. Тогда

Это доказывает, что $\mathcal{F}$ замкнуто относительно разности. (a: ⇐) Предположим, что $\mathcal{F}$ — кольцо и $\Omega \in \mathcal{F}$. Чтобы доказать, что $\mathcal{F}$ — алгебра на $\Omega$, отметим, что (A1) $\quad \mathcal{F} \neq \varnothing$, поскольку $\mathcal{F}$ — кольцо. (F2) Пусть $A \in \mathcal{F}$. Поскольку $\Omega \in \mathcal{F}$ и (R3), имеем $A^{c}=\Omega -A \in \mathcal{F}$. Это доказывает, что $\mathcal{F}$ замкнуто относительно разности. (F3) устойчивость относительно $\cup$ следует из (R2). (b) Нам нужно лишь доказать, что $\mathcal{F}$ является полем, если $\mathcal{F}$ является алгеброй, поскольку обратное направление тривиально.

Предположим, что $\mathcal{F}$ — алгебра. Мы хотим показать, что $\Omega \in \mathcal{F}$. Поскольку $\mathcal{F} \neq \varnothing$ по определению алгебры, должно существовать $A \in \mathcal{F}$. Тогда $A^{c} \in \mathcal{F}$ по (F2), и потому $\Omega =A \cup A^{c} \in \mathcal{F}$ по (F3). $\square$

Если $\mathcal{F}$ является одновременно и полем, и монотонным классом, то $\mathcal{F}$ является $\sigma$-полем.

Поле является монотонным классом тогда и только тогда, когда оно является $\sigma$-полем.

$\mathcal{F}$ удовлетворяет (S1), (S2) и замкнутости относительно nmc-пересечений тогда и только тогда, когда $\mathcal{F}$ является $\sigma$-полем.

Каждое поле, замкнутое относительно счётных дизъюнктных объединений, является $\sigma$-полем.

Если $\mathcal{F}$ удовлетворяет (S1), замкнутости относительно разностей и замкнутости относительно счётных объединений или замкнутости относительно счётных пересечений, то $\mathcal{F}$ является $\sigma$-полем.

Конечное объединение $\sigma$-полей на $\Omega$ не обязательно является полем на $\Omega$.

Если конечное объединение $\sigma$-полей на $\Omega$ является полем, то оно является также и $\sigma$-полем.

Для заданных $\sigma$-полей $\mathcal{F}_{1} \subsetneq \mathcal{F}_{2} \subsetneq \cdots$ на $\Omega$ не обязательно, что $\bigcup_{n=1}^{\infty } \mathcal{F}_{n}$ является $\sigma$-полем.

nmc-объединение множеств первой категории является множеством первой категории.

Пусть $\mathcal{F}=\left\{ A \subseteq \mathbb {R}: A \text{ или } A^{c} \text{ является множеством первой категории}\right\}$. Тогда $\mathcal{F}$ является $\sigma$-полем подмножеств $\mathbb {R}$.

Каждое $\sigma$-кольцо замкнуто относительно конечных объединений и nmc-пересечений.

$\mathcal{F}$ является $\sigma$-полем тогда и только тогда, когда $\mathcal{F}$ является $\sigma$-кольцом с $\Omega \in \mathcal{F}$.

Сформулируйте и докажите результат о существовании и единственности [минимального] $\sigma$-кольца, порождённого совокупностью $A$ подмножеств $\Omega$.

Для любой совокупности $\mathcal{C}$ множеств пусть $\mathcal{C}^{*}$ обозначает совокупность всех счётных объединений разностей $\mathcal{C}$-множеств. Определим $\mathcal{A}_{0}=\mathcal{A}$, и для любого ординала $\alpha \succ 0$ определим $\mathcal{A}_{\alpha }=\left(\bigcup_{0 \preceq \beta \prec \alpha } \mathcal{A}_{\beta }\right)^{*}$. Тогда $0 \preceq \alpha \prec \beta$ влечёт $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A}_{\alpha } \subseteq \mathcal{A}_{\beta } \subseteq S(\mathcal{A})$.

Обозначив через $\omega$ первый несчётный ординал, покажите, что $S(\mathcal{A})=\bigcup_{0 \preceq \alpha \prec \omega } \mathcal{A}_{\alpha }$.

Если $\operatorname {card}(\mathcal{A}) \leq \mathfrak {c}$, то $\operatorname {card}(S(\mathcal{A})) \leq \mathfrak {c}$.

Если $\Omega$ конечно, то любое $\sigma$-поле на $\Omega$ конечно.

Далее предположим, что $\Omega$ бесконечно и что существует счётно бесконечное $\sigma$-поле $\mathcal{F}=\left\{ A_{1}, A_{2}, \ldots \right\}$ на $\Omega$. Для каждого $\omega \in \Omega$ пусть $B_{\omega }=\bigcap \left\{ A_{n}: \omega \in A_{n}\right\}$. Для любых различных $\omega , \omega^{\prime } \in \Omega$ либо $B_{\omega }=B_{\omega^{\prime }}$, либо $B_{\omega } \cap B_{\omega^{\prime }}=\varnothing$.

Из (b) следует, что существует дизъюнктная совокупность $\left\{ C_{1}, C_{2}, \ldots \right\}$ непустых $\mathcal{F}$-множеств с $\bigcup_{n=1}^{\infty } C_{n}=\Omega$.

Для каждой последовательности $e=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots \right)$ нулей и единиц пусть $D_{e}=\bigcup \left\{ C_{n}: e_{n}=1\right\}$. Тогда $e \neq e^{\prime }$ вынуждает $D_{e} \neq D_{e^{\prime }}$, и возникает противоречие. Следовательно, не может существовать счётно бесконечного $\sigma$-поля на нашем бесконечном $\Omega$.

Если $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A}^{\prime } \subseteq \sigma (\mathcal{A})$, то $\sigma \left(\mathcal{A}^{\prime }\right)=\sigma (\mathcal{A})$.

Для любой совокупности $\varnothing \neq \mathcal{A} \subseteq 2^{\Omega }, \pi (\mathcal{A}) \subseteq \lambda (\mathcal{A}) \subseteq \sigma (\mathcal{A})$.

Если непустая совокупность $\mathcal{A}$ конечна, то $\sigma (\mathcal{A})=f(\mathcal{A})$.

Для произвольной совокупности $\mathcal{A}$ имеем $\sigma (\mathcal{A})=\sigma (f(\mathcal{A}))$.

Для произвольной совокупности $\mathcal{A}$ имеем $f(\sigma (\mathcal{A}))=\sigma (f(\mathcal{A}))$.

Пусть $\mathcal{C}$ обозначает класс множеств указанного вида. Тогда $\Omega \in \mathcal{C}$, и $\mathcal{C}$ замкнуто относительно пересечения.

Покажите, что $\mathcal{C}$ замкнуто относительно дополнения, сначала показав, что

где, если $n_{i}<2$, $\bigcup_{j=2}^{n_{i}}\left(A_{i j}^{c} \cap \bigcap_{k=1}^{j-1} A_{i k}\right)$ полагается равным $\varnothing$, $i=1, \ldots , m$.

Для $i=1, \ldots , m$, $\bigcup_{j=2}^{n_{i}}\left(A_{i j}^{c} \cap \bigcap_{k=1}^{j-1} A_{i k}\right) \in \mathcal{C}$. Также, по замкнутости относительно пересечения, имеем $\left(\bigcup_{i=1}^{m} \bigcap_{j=1}^{n_{i}} A_{i j}\right)^{c} \in \mathcal{C}$.

$\mathcal{C}$ — поле, содержащее $\mathcal{A}$, и потому $f(\mathcal{A}) \subseteq \mathcal{C}$.

Каждое $\mathcal{C}$-множество должно принадлежать любому полю, содержащему $\mathcal{A}$, следовательно $\mathcal{C} \subseteq f(\mathcal{A})$.

$f(\mathcal{A})=\left\{ A \subseteq \Omega : A \text{ конечно или } A^{c} \text{ конечно}\right\}$.

Когда $\Omega$ nmc, $\sigma (\mathcal{A})=2^{\Omega }$.

Для общего $\Omega$, $\sigma (\mathcal{A})=\left\{ A \subseteq \Omega : A \text{ или } A^{c} \text{ является nmc}\right\}$.

Предположим, что $\mathcal{A}$ таково, что $\sigma (\mathcal{A})=2^{\Omega }$. Для каждой различной пары $\omega , \omega^{\prime } \in \Omega$ существует $A \in \mathcal{A}$ с $\omega \in A$, но $\omega^{\prime } \notin A$.

Пусть $\Omega$ счётно, и предположим, что для каждой различной пары $\omega , \omega^{\prime } \in \Omega$ существует множество $A \in \mathcal{A}$ такое, что $\omega \in A$, но $\omega^{\prime } \notin A$. Тогда $\sigma (\mathcal{A})=2^{\Omega }$.

$\sigma (\mathcal{A}) \cap B$ является $\sigma$-полем на $B$.

Далее, определим $\sigma_{B}(\mathcal{A} \cap B)$ как минимальное $\sigma$-поле над $B$, порождённое классом $\mathcal{A} \cap B$. Тогда $\sigma_{B}(\mathcal{A} \cap B)=\sigma (\mathcal{A}) \cap B$.