Борелевская $\sigma$-алгебра

Обозначения: $\mathscr {A}_{3}=$ интервалы вида $[x, \infty )$, $\mathscr {A}_{4}=$ интервалы вида $(x, \infty )$, $\mathscr {A}_{7}=$ интервалы вида $[a, b)$, и $\mathscr {A}_{10}=$ замкнутые подмножества $\mathbb {R}$. Звёздочка над совокупностью (например, $\mathscr {A}_{3}^{*}$, $\mathcal{A}_{4}^{*}$) обозначает тот же вид интервала, ограниченный рациональными концами.

Определение: расширенное борелевское $\sigma$-поле на $\overline{\mathbb {R}}$ обозначается $\bar{\mathscr {B}}$ и определяется как $\bar{\mathscr {B}} \equiv \sigma \left(\left\{ (a, b]: a, b \in \overline{\mathbb {R}}, a<b\right\} \right)$. Множества в $\bar{\mathscr {B}}$ называются расширенными борелевскими множествами.

Так же как разные авторы используют разные определения для $\mathscr {B}$, так и $\bar{\mathscr {B}}$ имеет различные определения. Некоторые другие определения таковы: (1) класс множеств, являющихся $\mathscr {B}$-множествами или $\mathscr {B}$-множествами, расширенными добавлением одного или обоих из $\pm \infty$, (2) $\sigma$-поле на $\overline{\mathbb {R}}$, порождённое классом интервалов вида $(a, b)$, $[-\infty , a)$ и $(b,+\infty ]$, где $a, b \in \mathbb {R}$, (3) $\sigma$-поле на $\overline{\mathbb {R}}$, порождённое интервалами вида $[-\infty , x)$, $x \in \mathbb {R}$, (4) $\sigma \left(\mathscr {B} \cup \left\{ \left\{ -\infty \right\} ,\left\{ +\infty \right\} \right\} \right)$, и (5) $\sigma$-поле на $\overline{\mathbb {R}}$, порождённое открытыми подмножествами $\overline{\mathbb {R}}$, множествами вида $A$, $A \cup (x, \infty ]$, $A \cup [-\infty , x)$, и $A \cup [-\infty , x) \cup (y,+\infty ]$, где $A$ — открытое подмножество $\mathbb {R}$, а $x, y \in \mathbb {R}$.

Утверждение 2 (раздел 1.4): $\mathscr {B}=\sigma \left(\mathcal{A}_{1}\right)=\cdots =\sigma \left(\mathcal{A}_{10}\right)=\sigma \left(\mathcal{A}_{1}^{*}\right)=\cdots =\sigma \left(\mathcal{A}_{8}^{*}\right)$, где $\mathcal{A}_{1}, \ldots , \mathcal{A}_{10}$ и $\mathcal{A}_{1}^{*}, \ldots , \mathcal{A}_{8}^{*}$ — классы интервалов, определённые в замечании к задаче 1.4.1 (где $\mathcal{A}_{n}^{*}$ имеет тот же вид, что и $\mathcal{A}_{n}$, но с рациональными концами, для $n=1, \ldots , 8$).

Естественное расширение утверждения 2 на $\overline{\mathbb {R}}$ верно и в расширенной борелевской обстановке: $\bar{\mathscr {B}}$ порождается также любой из аналогично расширенных версий $\mathcal{A}_{1}, \ldots , \mathcal{A}_{10}, \mathcal{A}_{1}^{*}, \ldots , \mathcal{A}_{8}^{*}$.