$k$-мерная борелевская $\sigma$-алгебра

Для каждого $k \in \mathbb {N}$ и $j=1, \ldots , k$, каждая $\left(k-j\right)$-мерная гиперплоскость принадлежит $\mathscr {B}^{k}$.

Рассмотрим окружность единичного круга в $\mathbb {R}^{2}$, множество точек $\left(x, y\right)$ с $x^{2}+y^{2}=1$. Множество точек на окружности единичного круга, имеющих хотя бы одну иррациональную координату, является двумерным борелевским множеством.

Множество точек в $\mathbb {R}^{k}$, все координаты которых трансцендентны, принадлежит $\mathscr {B}^{k}$.

Для любого прямоугольника [любого вида] $A \subseteq \mathbb {R}^{k}$ определим $k$-мерное борелевское $\sigma$-поле над $A$ как $\sigma$-поле, порождённое всеми $k$-мерными rsc-подпрямоугольниками $A$; назовём этот класс $\mathscr {B}_{A}^{k}$. $\mathscr {B}_{A}^{k}$ можно эквивалентно определить как $\left\{ B \cap A: B \in \mathscr {B}^{k}\right\}$.

$\mathscr {B}^{k}$ порождается счётным классом.

Покажите, что $\mathscr {B}^{k}$ не порождается одноточечными подмножествами $\mathbb {R}^{k}$, ни конечными подмножествами $\mathbb {R}^{k}$, ни nmc подмножествами $\mathbb {R}^{k}$.

Вот пять дополнительных определений $\bar{\mathscr {B}}^{k}$, встречающихся в других источниках. Эти пять определений эквивалентны нашему определению $\bar{\mathscr {B}}^{k}$.

1. Класс подмножеств $\overline{\mathbb {R}^{k}}$, являющихся $\mathscr {B}^{k}$-множествами или $\mathscr {B}^{k}$-множествами, дополненными точками, имеющими $\pm \infty$ хотя бы в одной координате.

2. $\sigma$-поле подмножеств $\overline{\mathbb {R}^{k}}$, порождённое классом открытых прямоугольников в $\overline{\mathbb {R}^{k}}$ вида $(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b})$, $[-\infty , \boldsymbol {a})$ и $(\boldsymbol {a},+\infty ]$, где $\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b} \in \mathbb {R}^{k}$.

3. $\sigma$-поле на $\overline{\mathbb {R}^{k}}$, порождённое $\left\{ (-\infty , \boldsymbol {x}]: \boldsymbol {x} \in \overline{\mathbb {R}^{k}}\right\}$.

4. $\sigma \left(\mathscr {B}^{k} \cup \left\{ \left\{ \boldsymbol {x}\right\} : \text{каждая } x_{i} \text{ свободно равна } +\infty \text{ или } -\infty \right\} \right)$.

5. $\sigma$-поле на $\overline{\mathbb {R}^{k}}$, порождённое открытыми подмножествами $\overline{\mathbb {R}^{k}}$, то есть множествами вида $A$, $A \cup (\boldsymbol {x},+\infty ]$, $A \cup [-\infty , \boldsymbol {x})$, и $A \cup [-\infty , \boldsymbol {x}) \cup (\boldsymbol {y},+\infty ]$, где $A$ — открытое подмножество $\mathbb {R}^{k}$, а $\boldsymbol {x}, \boldsymbol {y} \in \mathbb {R}^{k}$.

Пусть $\Omega$ и $\Omega^{\prime }$ — множества, и пусть $\mathcal{F}$ и $\mathcal{F}^{\prime }$ обозначают поля над $\Omega$ и $\Omega^{\prime }$ соответственно. Пусть $\mathcal{F} * \mathcal{F}^{\prime }$ обозначает совокупность всех конечных дизъюнктных объединений множеств вида $A \times B$, где $A \in \mathcal{F}$ и $B \in \mathcal{F}^{\prime }$.