$\pi$-системы, $\lambda$-системы и полукольца

Совокупность $\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{P}_{\alpha }$ является $\pi$-системой на $\Omega$.

Пусть $\mathcal{A} \subseteq 2^{\Omega }$. Предположим, что $\left\{ \mathcal{P}_{\alpha }: \alpha \in A\right\}$ — «исчерпывающий список» всех $\pi$-систем, содержащих $\mathcal{A}$. Иными словами, каждая $\mathcal{P}_{\alpha } \supseteq \mathcal{A}$, и любая $\pi$-система, содержащая $\mathcal{A}$, совпадает с некоторой $\mathcal{P}_{\alpha }$. Тогда $\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{P}_{\alpha }$ является $\pi$-системой, содержащей $A$. Если $Q$ — $\pi$-система, содержащая $\mathcal{A}$, то $\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{P}_{\alpha } \subseteq Q$. Минимальная $\pi$-система, порождённая $A$, всегда существует.

Предположим, что $\mathcal{P}$ — $\pi$-система с $\mathcal{P} \supseteq \mathcal{A}$, и предположим, что $\mathcal{P}$ содержится в любой другой $\pi$-системе, содержащей $\mathcal{A}$. Тогда $\mathcal{P}=\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{P}_{\alpha }$, с обозначениями как в (b). Минимальная $\pi$-система, содержащая $A$ [которая всегда существует], также единственна.

$\mathscr {L}$ является $\lambda$-системой тогда и только тогда, когда $\mathscr {L}$ удовлетворяет ( $\lambda_{1}$ ), ( $\lambda_{2}^{\prime }$ ) и ( $\lambda_{3}$ ).

Каждая $\lambda$-система дополнительно удовлетворяет ( $\lambda_{4}$ ), ( $\lambda_{5}$ ) и ( $\lambda_{6}$ ).

$\mathscr {L}$ является $\lambda$-системой тогда и только тогда, когда $\mathscr {L}$ удовлетворяет ( $\lambda_{1}$ ), ( $\lambda_{2}^{\prime }$ ) и ( $\lambda_{5}$ ).

${ }^{1}$ Условия таковы: $\left(\boldsymbol {\lambda }_{\mathbf{1}}\right) \quad \Omega \in \mathscr {L}$; ( $\boldsymbol {\lambda }_{\mathbf{2}}$) $A \in \mathscr {L} \Longrightarrow A^{c} \in \mathscr {L}$; ( $\boldsymbol {\lambda }_{\mathbf{2}}^{\prime }$) $\quad A, B \in \mathscr {L} \& A \subseteq B \Longrightarrow B \backslash A \in \mathscr {L}$; ( $\boldsymbol {\lambda }_{\mathbf{3}}$) Для любых непересекающихся $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \subseteq \mathscr {L}, \bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n} \in \mathscr {L}$; (λ4) $\quad A, B \in \mathscr {L} \& A \cap B=\varnothing \Longrightarrow A \cup B \in \mathscr {L}$; ( h $_{\text{5 }}$) $\forall \left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \subseteq \mathscr {L}, A_{n} \uparrow \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n} \in \mathscr {L}$; ( $\boldsymbol {\lambda }_{\mathbf{6}}$) $\quad \forall \left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \subseteq \mathscr {L}, A_{n} \downarrow \Longrightarrow \bigcap_{n=1}^{\infty } A_{n} \in \mathscr {L}$.

Если совокупность $\mathscr {L}$ непуста и удовлетворяет ( $\lambda_{2}$ ) и ( $\lambda_{3}$ ), то $\mathscr {L}$ является $\lambda$-системой.

Совокупность $\bigcap_{\alpha \in A} \mathscr {L}_{\alpha }$ является $\lambda$-системой на $\Omega$.

Предположим, что $\mathcal{A} \subseteq 2^{\Omega }$ таково, что $\mathcal{A}$ содержится в каждой $\mathscr {L}_{\alpha }$, и предположим, что $\left\{ \mathscr {L}_{\alpha }: \alpha \in A\right\}$ — «исчерпывающий список» всех $\lambda$-систем, содержащих $\mathcal{A}$. Тогда $\bigcap_{\alpha \in A} \mathscr {L}_{\alpha }$ является $\lambda$-системой, содержащей $\mathcal{A}$. Если $\mathcal{Q}$ — $\lambda$-система на $\Omega$, содержащая $\mathcal{A}$, то $\bigcap_{\alpha \in A} \mathscr {L}_{\alpha } \subseteq \mathcal{Q}$. Минимальная $\lambda$-система, порождённая $\mathcal{A}$, всегда существует.

Пусть $\mathscr {L}$ обозначает $\lambda$-систему над $\Omega$ с $\mathscr {L} \supseteq \mathscr {A}$, причём $\mathscr {L}$ содержится в любой другой $\lambda$-системе, также содержащей $\mathcal{A}$. Тогда $\mathscr {L}=\bigcap_{\alpha \in A} \mathscr {L}_{\alpha }$, с обозначениями как в (b). Следовательно, $\lambda$-система, порождённая $\mathcal{A}$, всегда существует и единственна.

Некоторые определяют $A$ как полукольцо тогда и только тогда, когда $A$ — непустая $\pi$-система, такая что из $E, F \in \mathcal{A}$ и $E \subseteq F$ следует существование конечной совокупности $C_{0}, C_{1}, \ldots , C_{n} \in$ A с $E=C_{0} \subseteq C_{1} \subseteq \ldots \subseteq C_{n} \subseteq F$ и $C_{i} \backslash C_{i-1} \in \mathcal{A}$ для $i=1, \ldots , n$. Это определение полукольца эквивалентно нашему определению полукольца.

Некоторые определяют $\mathcal{A}$ как полукольцо, постулируя (SR1), (SR2) и следующее свойство: из $A, B \in \mathcal{A}$ следует существование непересекающихся $\mathcal{A}$-множеств $C_{0}, C_{1}, \ldots , C_{n}$ с $B \backslash A=\bigcup_{i=0}^{n} C_{i}$. Заметим, что здесь $B \backslash A$ не обязательно является собственной разностью. Если $\mathcal{A}$ является полукольцом по этому определению, то $\mathcal{A}$ является полукольцом по нашему определению, но обратное не обязательно верно.

$\varnothing$ содержится в каждом кольце.

$\mathcal{R}$ является кольцом тогда и только тогда, когда $\mathcal{R}$ удовлетворяет (R1), (R2) и (R4) из $A, B \in \mathcal{R}$ с $A \subseteq B$ следует $B \backslash A \in \mathcal{R}$.

Каждое кольцо удовлетворяет (R5) из $A, B \in \mathcal{R}$ следует $A \Delta B \in \mathcal{R}$.

Каждое кольцо является $\pi$-системой.

Каждое кольцо замкнуто относительно конечных объединений и конечных пересечений.

$\mathcal{R}$ является кольцом тогда и только тогда, когда $\mathcal{R}$ — непустая $\pi$-система, удовлетворяющая ( $R 4$ ) вместе с (R6) из $A, B \in \mathcal{R}$ и $A \cap B=\varnothing$ следует $A \cup B \in \mathcal{R}$.

$\mathcal{R}$ является кольцом тогда и только тогда, когда $\mathcal{R}$ — непустая $\pi$-система, удовлетворяющая (R5).

Предположим, что $\left\{ \mathcal{R}_{\alpha }: \alpha \in A\right\}$ — «исчерпывающий список» всех колец, содержащих $\mathcal{A}$. Тогда $\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{R}_{\alpha }$ — кольцо, содержащее $\mathcal{A}$, и $\bigcap_{\alpha \in A} \mathcal{R}_{\alpha }$ содержится в любом кольце, содержащем $\mathcal{A}$. Минимальное кольцо, содержащее $\mathcal{A}$, всегда существует и единственно.

Совокупность конечных объединений rsc-интервалов является кольцом на $\mathbb {R}$.

Пусть $\Omega$ несчётно. Совокупность всех amc-подмножеств $\Omega$ является кольцом на $\Omega$.

Каждое кольцо является полукольцом. Однако не каждое полукольцо является кольцом.

Пусть $\mathcal{A}$ обозначает полукольцо на $\Omega$, и пусть $\mathcal{R}$ состоит из конечных непересекающихся объединений $A$-множеств. Тогда $\mathcal{R}$ замкнуто относительно конечных пересечений и непересекающихся объединений.

Если $A, B \in \mathcal{A}$ и $A \subseteq B$, то $B-A \in \mathcal{R}$.

Из $A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{R}$, и $A \subseteq B$ следует $B-A \in \mathcal{R}$.

Из $A, B \in \mathcal{R}$ и $A \subseteq B$ следует $B-A \in \mathcal{R}$.

$\mathcal{R}$ является минимальным кольцом, порождённым $\mathcal{A}$.

Полукольцо, удовлетворяющее (R2), является кольцом.

Пусть дано $\mathscr {C} \subseteq 2^{\Omega }$, обозначим через $\mathscr {C}^{*}$ совокупность всех конечных объединений разностей $\mathscr {C}$-множеств. Если $\operatorname {card}(\mathscr {C})=\aleph_{0}$, то $\operatorname {card}\left(\mathscr {C}^{*}\right)=\aleph_{0}$. Также из $\varnothing \in \mathscr {C}$ следует $\mathscr {C} \subseteq \mathscr {C}^{*}$.

Пусть $\mathcal{A}_{0}=\mathcal{A}$, и определим $\mathcal{A}_{n}=\mathcal{A}_{n-1}^{*}$ для $n \geqslant 1$. Тогда $\mathcal{A} \subseteq \bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{A}_{n} \subseteq \mathfrak {R}(\mathcal{A})$, где $\mathfrak {R}(\mathcal{A})$ — минимальное кольцо, порождённое $\mathcal{A}$, и где [без ограничения общности] $\varnothing \in \mathcal{A}$. Также $\operatorname {card}\left(\bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{A}_{n}\right)=\aleph_{0}$.

$\bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{A}_{n}$ является кольцом на $\Omega$, и из того факта, что $\mathfrak {R}(\mathcal{A})$ — минимальное кольцо, содержащее $\mathcal{A}$, имеем $\bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{A}_{n}=\mathfrak {R}(\mathcal{A})$, и, следовательно, $\operatorname {card}(\mathfrak {R}(\mathcal{A}))=\aleph_{0}$.

Можно обобщить: если $\mathcal{A}$ бесконечно, то $\operatorname {card}(\mathcal{A})=\operatorname {card}(\mathfrak {R}(\mathcal{A}))$.