Алгебры

Совокупность $\mathcal{F}=\left\{ A \subseteq \Omega : A \text{ конечно или } A^{c} \text{ конечно}\right\}$ является полем на $\Omega$.

Пусть $\mathcal{F} \subseteq 2^{\Omega }$ таково, что $\Omega \in \mathcal{F}$, и $A \backslash B \in \mathcal{F}$ всякий раз, когда $A, B \in \mathcal{F}$. Тогда $\mathcal{F}$ является полем на $\Omega$.

Каждая $\lambda$-система, замкнутая относительно произвольных разностей, является полем.

Пусть $\mathcal{F} \subseteq 2^{\Omega }$ удовлетворяет (F1) и (F2), и предположим, что $\mathcal{F}$ замкнуто относительно конечных непересекающихся объединений. Тогда $\mathcal{F}$ не обязательно является полем.

Предположим, что $\mathcal{F}_{1} \subseteq \mathcal{F}_{2} \subseteq \mathcal{F}_{3} \subseteq \ldots$, где $\mathcal{F}_{n}$ — поле на $\Omega$ для каждого $n \in \mathbb {N}$. Тогда $\bigcup_{n=1}^{\infty } \mathcal{F}_{n}$ является полем на $\Omega$.

Совокупность, состоящая из $\mathbb {R}^{k}, \varnothing$, и всех $k$-мерных прямоугольников всех видов, не является полем на $\mathbb {R}^{k}$.

Совокупность, состоящая из $\varnothing$ и конечных непересекающихся объединений $k$-мерных rsc-подпрямоугольников данного $k$-мерного rsc-прямоугольника $(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}]$, является полем на $\Omega$.

Произвольное пересечение полей на $\Omega$ является полем на $\Omega$.

Пусть $\Omega$ произвольно, и пусть $\mathcal{A} \subseteq 2^{\Omega }$. Существует единственное поле $\mathcal{F}$ на $\Omega$ со свойствами (i) $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}$, и (ii) если $\mathcal{G}$ — поле с $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{G}$, то $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$. Это поле $\mathcal{F}$ называется [минимальным] полем [на $\Omega$], порождённым $A$.

Пусть $A_{1}, \ldots , A_{n} \subsetneq \Omega$ попарно не пересекаются. Как выглядит типичный элемент минимального поля, порождённого $\left\{ A_{1}, \ldots , A_{n}\right\}$?

Пусть $S$ конечно, и пусть $\Omega$ обозначает множество последовательностей элементов $S$. Для каждого $\omega \in \Omega$ запишем

так что $z_{k}(\omega )$ обозначает $k$-й член $\omega$ для всех $k \in \mathbb {N}$. Для $n \in \mathbb {N}$ и $H \subseteq S^{n}$ положим

Пусть

Тогда $\mathcal{F}$ — поле подмножеств $S^{\infty }$. [Множества $C_{n}(H)$ называются цилиндрами ранга $n$, а $\mathcal{F}$ — совокупность всех цилиндров всех рангов.]

Предположим, что $\mathcal{A}$ — полукольцо на $\Omega$ с $\Omega \in \mathcal{A}$. Совокупность конечных дизъюнктных объединений $\mathcal{A}$-множеств является полем на $\Omega$. [Сравните с примером 3 и упражнением 1.2.7.]

Пусть $f: \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$. Для заданного $\mathcal{A}^{\prime } \subseteq 2^{\Omega^{\prime }}$ пусть $f^{-1}\left(\mathcal{A}^{\prime }\right)= \left\{ f^{-1}\left(A^{\prime }\right): A^{\prime } \in \mathcal{A}^{\prime }\right\}$, где $f^{-1}\left(A^{\prime }\right)$ — обычный прообраз $A^{\prime }$ при отображении $f$.

Пусть $\Omega$ бесконечно, и пусть $\mathcal{A} \subseteq 2^{\Omega }$ имеет мощность $\aleph_{0}$. Пусть $f(\mathcal{A})$ обозначает минимальное поле, порождённое $\mathcal{A}$ [упражнение 1.2.9]. Мы покажем, что $\operatorname {card}(f(\mathcal{A}))=\aleph_{0}$.

а. Дана совокупность $\mathscr {C}$; пусть $\mathscr {C}^{*}$ обозначает совокупность

1. конечных объединений $\mathscr {C}$-множеств,

2. конечных объединений разностей $\mathscr {C}$-множеств, и

3. конечных объединений дополнений $\mathscr {C}$-множеств.

Если $\varnothing \in \mathscr {C}$, то $\mathscr {C} \subseteq \mathscr {C}^{*}$. Если $\operatorname {card}(\mathscr {C})=\aleph_{0}$, то $\operatorname {card}\left(\mathscr {C}^{*}\right)=\aleph_{0}$.

В некоторых книгах используется система множеств, называемая алгеброй. Алгебра на $\Omega$ — это непустая совокупность подмножеств $\Omega$, удовлетворяющая (F2) и (F3).