$\sigma$-АЛГЕБРЫ

Если $\mathcal{F}$ является одновременно и полем, и монотонным классом, то $\mathcal{F}$ является $\sigma$-полем.

Поле является монотонным классом тогда и только тогда, когда оно является $\sigma$-полем.

$\mathcal{F}$ удовлетворяет (S1), (S2) и замкнутости относительно nmc-пересечений тогда и только тогда, когда $\mathcal{F}$ является $\sigma$-полем.

Каждое поле, замкнутое относительно счётных дизъюнктных объединений, является $\sigma$-полем.

Если $\mathcal{F}$ удовлетворяет (S1), замкнутости относительно разностей и замкнутости относительно счётных объединений или замкнутости относительно счётных пересечений, то $\mathcal{F}$ является $\sigma$-полем.

Конечное объединение $\sigma$-полей на $\Omega$ не обязательно является полем на $\Omega$.

Если конечное объединение $\sigma$-полей на $\Omega$ является полем, то оно является также и $\sigma$-полем.

Для заданных $\sigma$-полей $\mathcal{F}_{1} \subsetneq \mathcal{F}_{2} \subsetneq \cdots$ на $\Omega$ не обязательно, что $\bigcup_{n=1}^{\infty } \mathcal{F}_{n}$ является $\sigma$-полем.

nmc-объединение множеств первой категории является множеством первой категории.

Пусть $\mathcal{F}=\left\{ A \subseteq \mathbb {R}: A \text{ или } A^{c} \text{ является множеством первой категории}\right\}$. Тогда $\mathcal{F}$ является $\sigma$-полем подмножеств $\mathbb {R}$.

Каждое $\sigma$-кольцо замкнуто относительно конечных объединений и nmc-пересечений.

$\mathcal{F}$ является $\sigma$-полем тогда и только тогда, когда $\mathcal{F}$ является $\sigma$-кольцом с $\Omega \in \mathcal{F}$.

Сформулируйте и докажите результат о существовании и единственности [минимального] $\sigma$-кольца, порождённого совокупностью $A$ подмножеств $\Omega$.

Для любой совокупности $\mathcal{C}$ множеств пусть $\mathcal{C}^{*}$ обозначает совокупность всех счётных объединений разностей $\mathcal{C}$-множеств. Определим $\mathcal{A}_{0}=\mathcal{A}$, и для любого ординала $\alpha \succ 0$ определим $\mathcal{A}_{\alpha }=\left(\bigcup_{0 \preceq \beta \prec \alpha } \mathcal{A}_{\beta }\right)^{*}$. Тогда $0 \preceq \alpha \prec \beta$ влечёт $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A}_{\alpha } \subseteq \mathcal{A}_{\beta } \subseteq S(\mathcal{A})$.

Обозначив через $\omega$ первый несчётный ординал, покажите, что $S(\mathcal{A})=\bigcup_{0 \preceq \alpha \prec \omega } \mathcal{A}_{\alpha }$.

Если $\operatorname {card}(\mathcal{A}) \leq \mathfrak {c}$, то $\operatorname {card}(S(\mathcal{A})) \leq \mathfrak {c}$.

Если $\Omega$ конечно, то любое $\sigma$-поле на $\Omega$ конечно.

Далее предположим, что $\Omega$ бесконечно и что существует счётно бесконечное $\sigma$-поле $\mathcal{F}=\left\{ A_{1}, A_{2}, \ldots \right\}$ на $\Omega$. Для каждого $\omega \in \Omega$ пусть $B_{\omega }=\bigcap \left\{ A_{n}: \omega \in A_{n}\right\}$. Для любых различных $\omega , \omega^{\prime } \in \Omega$ либо $B_{\omega }=B_{\omega^{\prime }}$, либо $B_{\omega } \cap B_{\omega^{\prime }}=\varnothing$.

Из (b) следует, что существует дизъюнктная совокупность $\left\{ C_{1}, C_{2}, \ldots \right\}$ непустых $\mathcal{F}$-множеств с $\bigcup_{n=1}^{\infty } C_{n}=\Omega$.

Для каждой последовательности $e=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots \right)$ нулей и единиц пусть $D_{e}=\bigcup \left\{ C_{n}: e_{n}=1\right\}$. Тогда $e \neq e^{\prime }$ вынуждает $D_{e} \neq D_{e^{\prime }}$, и возникает противоречие. Следовательно, не может существовать счётно бесконечного $\sigma$-поля на нашем бесконечном $\Omega$.

Если $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A}^{\prime } \subseteq \sigma (\mathcal{A})$, то $\sigma \left(\mathcal{A}^{\prime }\right)=\sigma (\mathcal{A})$.

Для любой совокупности $\varnothing \neq \mathcal{A} \subseteq 2^{\Omega }, \pi (\mathcal{A}) \subseteq \lambda (\mathcal{A}) \subseteq \sigma (\mathcal{A})$.

Если непустая совокупность $\mathcal{A}$ конечна, то $\sigma (\mathcal{A})=f(\mathcal{A})$.

Для произвольной совокупности $\mathcal{A}$ имеем $\sigma (\mathcal{A})=\sigma (f(\mathcal{A}))$.

Для произвольной совокупности $\mathcal{A}$ имеем $f(\sigma (\mathcal{A}))=\sigma (f(\mathcal{A}))$.

Пусть $\mathcal{C}$ обозначает класс множеств указанного вида. Тогда $\Omega \in \mathcal{C}$, и $\mathcal{C}$ замкнуто относительно пересечения.

Покажите, что $\mathcal{C}$ замкнуто относительно дополнения, сначала показав, что

где, если $n_{i}<2$, $\bigcup_{j=2}^{n_{i}}\left(A_{i j}^{c} \cap \bigcap_{k=1}^{j-1} A_{i k}\right)$ полагается равным $\varnothing$, $i=1, \ldots , m$.

Для $i=1, \ldots , m$, $\bigcup_{j=2}^{n_{i}}\left(A_{i j}^{c} \cap \bigcap_{k=1}^{j-1} A_{i k}\right) \in \mathcal{C}$. Также, по замкнутости относительно пересечения, имеем $\left(\bigcup_{i=1}^{m} \bigcap_{j=1}^{n_{i}} A_{i j}\right)^{c} \in \mathcal{C}$.

$\mathcal{C}$ — поле, содержащее $\mathcal{A}$, и потому $f(\mathcal{A}) \subseteq \mathcal{C}$.

Каждое $\mathcal{C}$-множество должно принадлежать любому полю, содержащему $\mathcal{A}$, следовательно $\mathcal{C} \subseteq f(\mathcal{A})$.

$f(\mathcal{A})=\left\{ A \subseteq \Omega : A \text{ конечно или } A^{c} \text{ конечно}\right\}$.

Когда $\Omega$ nmc, $\sigma (\mathcal{A})=2^{\Omega }$.

Для общего $\Omega$, $\sigma (\mathcal{A})=\left\{ A \subseteq \Omega : A \text{ или } A^{c} \text{ является nmc}\right\}$.

Предположим, что $\mathcal{A}$ таково, что $\sigma (\mathcal{A})=2^{\Omega }$. Для каждой различной пары $\omega , \omega^{\prime } \in \Omega$ существует $A \in \mathcal{A}$ с $\omega \in A$, но $\omega^{\prime } \notin A$.

Пусть $\Omega$ счётно, и предположим, что для каждой различной пары $\omega , \omega^{\prime } \in \Omega$ существует множество $A \in \mathcal{A}$ такое, что $\omega \in A$, но $\omega^{\prime } \notin A$. Тогда $\sigma (\mathcal{A})=2^{\Omega }$.

$\sigma (\mathcal{A}) \cap B$ является $\sigma$-полем на $B$.

Далее, определим $\sigma_{B}(\mathcal{A} \cap B)$ как минимальное $\sigma$-поле над $B$, порождённое классом $\mathcal{A} \cap B$. Тогда $\sigma_{B}(\mathcal{A} \cap B)=\sigma (\mathcal{A}) \cap B$.

Чтобы доказать утверждение, достаточно показать, что $\sigma (\mathcal{F}) \subseteq m(\mathcal{F})$.

Если $m(\mathcal{F})$ является полем, то $\sigma (\mathcal{F}) \subseteq m(\mathcal{F})$.

$\Omega \in m(\mathcal{F})$.

Пусть $\mathcal{G}=\left\{ A \subseteq \Omega : A^{c} \in m(\mathcal{F})\right\}$. $\mathcal{G}$ является монотонным классом на $\Omega$, и $m(\mathcal{F}) \subseteq \mathcal{G}$.

$m(\mathcal{F})$ действительно замкнуто относительно дополнений.

Пусть \mathscr {H}_{1}=\left\{ A \subseteq \Omega : A \cup B \in m(\mathcal{F}) для всех B \in \mathcal{F}\right\}. Тогда $\mathscr {H}_{1}$ является монотонным классом таким, что $\mathcal{F} \subseteq \mathscr {H}_{1}$, и $m(\mathcal{F}) \subseteq \mathscr {H}_{1}$.

Пусть \mathscr {E}_{2}=\left\{ B \subseteq \Omega : A \cup B \in m(\mathcal{F}) для всех A \in m(\mathcal{F})\right\}. Тогда $\mathscr {E}_{2}$ является монотонным классом таким, что $\mathcal{F} \subseteq \mathscr {H}_{2}$, и $m(\mathcal{F}) \subseteq \mathscr {H}_{2}$.

$m(\mathcal{F})$ замкнуто относительно конечных объединений, и потому является полем.