Банк задач по математике

Задача 1.7.1

(a)(b)(c)

Найдите наименьшее $n$ , такое что

?

(a)

$\left\{ \left\{ x\right\} : 0<x \leq 1\right\} \subseteq \mathcal{I}_{n}$ .

(b)

Каждое конечное подмножество $(0,1]$ принадлежит $\mathcal{I}_{n}$ .

(c)

Каждое счётное подмножество $(0,1]$ принадлежит $\mathcal{I}_{n}$ .

Задача 1.7.2

Докажите напрямую, что $\mathcal{I}_{0} \subsetneq \mathcal{I}_{1} \subsetneq \mathcal{I}_{2} \subsetneq \mathcal{I}_{3} \subsetneq \mathcal{I}_{4}$ .

?

Задача 1.7.3

$\mathcal{I}_{4}$ содержит каждый подынтервал $(0,1]$ любого вида.

?

Задача 1.7.4

Если $\mathcal{I}_{n} \subsetneq \mathcal{I}_{n+1}$ для всех $n \geq 0$ , то $\mathcal{I}_{N} \subsetneq \mathscr {B}_{(0,1]}$ для всех $N \in \mathbb {N}$ .

?

Задача 1.7.5

Пусть $\Omega \neq \varnothing$ произвольно, и пусть $\mathcal{A}=\left\{ A_{1}, A_{2}, \ldots \right\}$ таково, что множества $A_{n}$ дизъюнктны и непусты с $\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}=\Omega$ . Покажите, что $\mathcal{A}^{*}=\sigma (\mathcal{A})$ . Следовательно, в этом весьма частном случае множества в порождённом $\sigma$ -поле можно удобно описать через множества порождающего класса.

?

Задача 1.7.6

Мгновенно постройте $\mathfrak {c}$ других множеств в $\mathscr {B}_{(0,1]}-\bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{I}_{n}$ .

?

Задача 1.7.7

$\operatorname {card}\left(\mathcal{I}_{n}\right)=\mathfrak {c}$ для всех $n \in \mathbb {N}$ , $\operatorname {card}\left(\bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{I}_{n}\right)=\mathfrak {c}$ , и $\operatorname {card}\left(\mathscr {B}_{(0,1]}-\bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{I}_{n}\right)=\mathfrak {c}$ . Борелевские множества, конструируемые кажущейся всеобъемлющей процедурой, данной в начале этого раздела, образуют лишь «незначительную» подсовокупность $\mathscr {B}_{(0,1]}$ . То есть «большинство» элементов $\mathscr {B}_{(0,1]}$ не описываются построением, данным в начале этого раздела.

?

Задача 1.7.8

Пусть $\Omega =\mathbb {R}$ , и пусть $\mathcal{I}_{0}$ обозначает класс, состоящий из $\varnothing$ и всех rsc-подынтервалов $(a, b]$ из $\mathbb {R}$ с $a, b \in \mathbb {Q}$ , так что $\mathscr {B}=\sigma \left(\mathcal{I}_{0}\right)$ . Постройте множество в $\mathscr {B}-\bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{I}_{n}$ , подходящим образом изменив построения этого раздела.

?

Задача 1.7.9

Для каждого $\omega \in (0,1]$ запишем $\omega =0.d_{1}(\omega ) d_{2}(\omega ) d_{3}(\omega ) \cdots$ , где каждое $d_{j}(\omega )$ представляет $j$ -ю цифру двоичного разложения $\omega$ и, таким образом, равно либо 0, либо 1. Для определённости ограничимся разложением, имеющим непрерывающуюся последовательность единиц: если $\omega =\frac{1}{2}$ [например], запишем $\omega =0.0\overline{1}$ вместо $0.1\overline{0}$ . Для каждого $n \in \mathbb {N}$ определим $s_{n}(\omega )=\sum_{j=1}^{n} d_{j}(\omega )$ , так что $s_{n}(\omega )$ обозначает число единиц в первых $n$ цифрах двоичного разложения $\omega$ . Знаменитое множество нормальных чисел, изученное Борелем, есть $N=\left\{ \omega \in (0,1]: \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{s_{n}(\omega )}{n} \text{ существует и равен } \frac{1}{2}\right\}$ . Покажите, что $N \in \mathscr {B}_{(0,1]}$ , и покажите, что $N \in \mathcal{I}_{6}$ .

?

Задача 1.7.10

Можно построить ещё более экстремальное множество в $\mathscr {B}_{(0,1]}$ . Это упражнение даёт схему построения такого множества.

?

(a)

Пусть $\alpha \in P_{\xi }$ . Существуют $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{I}_{0}$ такие, что $\Phi_{\alpha }\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)=(0,1]$ . Существуют $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{I}_{0}$ такие, что $\Phi_{\alpha }\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)=\varnothing$ .

(b)

Пусть $\alpha \in P_{\xi }$ . Каждое $\mathcal{I}_{\alpha }$ -множество имеет вид $\Phi_{\alpha }\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)$ для некоторых подходящим образом выбранных $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{I}_{0}$ .

(c)

Пусть $\alpha \in P_{\xi }$ . Если $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathscr {B}_{(0,1]}$ , то $\Phi_{\alpha }\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right) \in \mathscr {B}_{(0,1]}$ .

(d)

$B_{\alpha } \notin \mathcal{I}_{\alpha }$ для всех $\alpha \in P_{\xi }$ .

(e)

Для всех $\alpha \in P_{\xi }$ и последовательностей $\left\{ u_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ натуральных чисел,

\left\{ \omega \in (0,1]: \omega \in \Phi _{\alpha }\left(I_{\omega _{u_{1}}}, I_{\omega _{u_{2}}}, \ldots \right)\right\} =\Phi _{\alpha }\left(D_{u_{1}}, D_{u_{2}}, \ldots \right).

(f)

Для каждого $\alpha \in P_{\xi }$ , $B_{\alpha } \in \mathscr {B}_{(0,1]}$ .

Примечание.

?

Мы используем обозначения для ординалов, введённые в разделе 1.6, где строчные греческие буквы, такие как $\alpha$ , $\beta$ и $\omega$ , обозначают порядковые числа, $\prec$ и $\preceq$ обозначают обычные отношения порядка среди ординалов (с равенством, обозначаемым как $\approx$ ), и для каждого ординала $\alpha$ , $P_{\alpha }=\left\{ \beta : 0 \preceq \beta \prec \alpha \right\}$ обозначает множество порядковых предшественников $\alpha$ . Здесь мы обозначим через $\xi$ первый несчётный ординал (ординал, называемый $\omega$ в собственных обозначениях раздела 1.6, переименованный здесь в $\xi$ , чтобы избежать столкновения с использованием $\omega$ в этом разделе для точки $(0,1]$ ).

Для каждого $\alpha \in P_{\xi }$ найдите последовательность $\left\{ \beta_{\alpha }(n)\right\}_{n=1}^{\infty }$ ординалов такую, что (i) $\beta_{\alpha }(n) \prec \alpha$ для всех $n \in \mathbb {N}$ и (ii) множество $\left\{ \beta_{\alpha }(n): n \text{ таково, что } \beta_{\alpha }(n)=\gamma \right\}$ бесконечно для всех $\gamma \prec \alpha$ . Пусть $\mathcal{I}_{0}$ определено как прежде, за исключением того, что индекс $0$ теперь является порядковым числом $0$ . Для каждого $\alpha \in P_{\xi }$ , при том что $\mathcal{I}_{\beta }$ определено для каждого $0 \preceq \beta \prec \alpha$ , определим $\mathcal{I}_{\alpha }=\left(\bigcup_{\beta \in P_{\alpha }} \mathcal{I}_{\beta }\right)^{*}$ . Это трансфинитно-индуктивное определение, порождающее неубывающий класс $\left\{ \mathcal{I}_{\alpha }: \alpha \in P_{\xi }\right\}$ . Далее, для заданных множеств $A_{1}, A_{2}, \ldots$ , определим $\Psi \left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)=A_{1}^{c} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup \cdots$ , как и прежде. Определим $\Phi_{0}\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)=A_{1}$ . Мы определяем $\Phi_{\alpha }\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)$ для всех $\alpha \in P_{\xi }$ следующим образом: если $\Phi_{\beta }\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)$ определено для всех $0 \preceq \beta \prec \alpha$ , запишем

\Phi _{\alpha }\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)=\Psi \left(\Phi _{\beta _{\alpha }(1)}\left(A_{m_{11}}, A_{m_{12}}, \ldots \right), \Phi _{\beta _{\alpha }(2)}\left(A_{m_{21}}, A_{m_{22}}, \ldots \right), \ldots \right),

где $\left\{ m_{i j}: i, j \in \mathbb {N}\right\}$ такое же, как и в этом разделе.

Части (a) и (b) соответствуют леммам 1 и 2 этого раздела (лемма 1: для $n \geq 0$ мы можем найти $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{I}_{0}$ такие, что $\Phi_{n}\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)=(0,1]$ , и мы можем найти $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{I}_{0}$ такие, что $\Phi_{n}\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)=\varnothing$ ; лемма 2: для $n \geq 0$ каждое $\mathcal{I}_{n}$ -множество имеет вид $\Phi_{n}\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right)$ для некоторых подходящим образом выбранных $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{I}_{0}$ ). Аналог леммы 3 не требуется. Часть (c) соответствует лемме 5 (если $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathscr {B}_{(0,1]}$ , то $\Phi_{n}\left(A_{1}, A_{2}, \ldots \right) \in \mathscr {B}_{(0,1]}$ для всех $n \geq 0$ ); аналог леммы 6 не требуется. Обозначения, предшествующие лемме 7, и сама лемма 7 (существование и единственность последовательности $\left\{ \omega_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ , соответствующей $\omega \in (0,1]$ ) остаются неизменными. Мы снова обозначим через $I_{1}, I_{2}, \ldots$ фиксированное перечисление счётного числа множеств, составляющих $\mathcal{I}_{0}$ . Для каждого $\alpha \in P_{\xi }$ определим функцию $\varphi_{\alpha }:(0,1] \rightarrow 2^{(0,1]}$ , записав $\varphi_{\alpha }(\omega )=\Phi_{\alpha }\left(I_{\omega_{1}}, I_{\omega_{2}}, \ldots \right)$ всякий раз, когда $\omega \leftrightarrow \left\{ \omega_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ . Далее, для каждого $\alpha \in P_{\xi }$ пусть $B_{\alpha }$ обозначает множество $\left\{ \omega \in (0,1]: \omega \notin \varphi_{\alpha }(\omega )\right\}$ . Часть (d) является аналогом леммы 8 (множество $B$ , построенное в этом разделе, лежит вне $\bigcup_{n=0}^{\infty } \mathcal{I}_{n}$ ). Множества $L_{k, n}$ и $D_{k}$ остаются такими же для всех $k, n \in \mathbb {N}$ ; леммы 9, 10 и 11 (устанавливающие, что $L_{k,n}, \left\{ \omega : \omega_{k}=n\right\}$ и $D_{k}$ являются $\mathscr {B}_{(0,1]}$ -множествами) остаются неизменными. Лемма 12 (тождество, используемое для переписывания $\Phi_{n}$ от $I_{\omega_{u_{k}}}$ через $\Phi_{n}$ от $D_{u_{k}}$ ) модифицируется, как в части (e). Наконец, лемма 13 ( $B \in \mathscr {B}_{(0,1]}$ ) модифицируется в часть (f).

Класс неуловимых борелевских множеств