Инвариантные меры

Если $\mathcal{T}_{e}$ — база топологии в точке $e$, покажите, что $\left\{ g \cdot \mathcal{O} \mid \mathcal{O} \in \mathcal{T}_{e}\right\}$ — база топологии в точке $g \in \mathcal{G}$.

Покажите, что $K_{1} \cdot K_{2}$ компактно, если $K_{1}$ и $K_{2}$ — компактные подмножества $\mathcal{G}$.

Пусть $\mathcal{O}$ — окрестность $e$. Покажите, что существует также окрестность $\mathcal{U}$ точки $e$, для которой $\mathcal{U} = \mathcal{U}^{-1}$ и $\mathcal{U} \cdot \mathcal{U} \subseteq \mathcal{O}$.

Покажите, что замыкание $\bar{H}$ подгруппы $H$ является подгруппой $\mathcal{G}$.

Пусть $\mathcal{G}_{1}$ и $\mathcal{G}_{2}$ — топологические группы, а $h: \mathcal{G}_{1} \rightarrow \mathcal{G}_{2}$ — гомоморфизм групп. Покажите, что $h$ непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в единичном элементе $\mathcal{G}_{1}$.

Используйте принцип сжимающих отображений Банаха, чтобы доказать лемму 1.

Лемма 1: Пусть $E$ — банахово пространство, а оператор $C \in \mathcal{L}(E)$ удовлетворяет условию $\left\| C\right\| < 1$. Тогда $\operatorname {Id} - C$ обратим и $\left\| (\operatorname {Id} - C)^{-1}\right\| \leq (1 - \left\| C\right\| )^{-1}$.

Используя полноту $\mathcal{L}(E)$, покажите, что если $C \in \mathcal{L}(E)$ и $\left\| C\right\| < 1$, то $\sum_{k = 0}^{\infty } C^{k}$ сходится в $\mathcal{L}(E)$.

Покажите, что множество обратимых вещественных $n \times n$ матриц с определителем 1 является топологической группой, если групповой операцией служит умножение матриц, а топология задаётся покоординатной непрерывностью. Эта топологическая группа называется специальной линейной группой и обозначается $\operatorname {SL}(n, \mathbb {R})$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Покажите, что оператор из $\mathrm{GL}(H)$ сохраняет норму тогда и только тогда, когда он сохраняет скалярное произведение.

Рассмотрим $\mathbb {R}^{n}$ с евклидовым скалярным произведением и нормой. Охарактеризуйте те $n \times n$ матрицы, которые представляют ортогональные операторы относительно ортонормированного базиса.

Покажите, что $\operatorname {GL}(E)$ открыто в $\mathcal{L}(E)$.

Покажите, что множество операторов из $\mathrm{GL}(E)$, состоящее из линейных компактных возмущений тождественного оператора, является подгруппой в $\operatorname {GL}(E)$. Она обозначается $\operatorname {GLc}(E)$.

Покажите, что сопряжённое к представлению также является представлением.

Покажите, что вероятностный функционал имеет норму 1.

Пусть $E$ — рефлексивное банахово пространство, а $K^{*}$ — выпуклое подмножество $E^{*}$, замкнутое относительно метрики, порождённой нормой. Покажите, что $K^{*}$ слабо-* замкнуто. С другой стороны, покажите, что если $E$ не рефлексивно, то образ замкнутого единичного шара из $E$ при естественном вложении $E$ в $\left(E^{*}\right)^{*} = E^{* *}$ является подмножеством $E^{* *}$, которое выпукло, замкнуто и ограничено относительно метрики, порождённой нормой, но не является слабо-* замкнутым.

Пусть $\mathcal{G}$ — компактная группа, $E$ — рефлексивное банахово пространство, а $\pi : \mathcal{G} \rightarrow \mathrm{GL}(E)$ — представление. Предположим, что для каждого $x \in E$ отображение $g \mapsto \pi (g) x$ непрерывно. Предположим также, что существует непустое сильно замкнутое, ограниченное, выпуклое подмножество $K$ пространства $E$, инвариантное относительно $\pi$. Покажите, что $K$ содержит точку, неподвижную относительно $\pi$.

Пусть $\mathcal{G}$ — топологическая группа, $E$ — банахово пространство, а $\pi : \mathcal{G} \rightarrow \mathrm{GL}(E)$ — представление. Для $x \in E$ покажите, что отображение $g \mapsto \pi (g) x$ непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в точке $e$.

Предположим, что $\mathcal{G}$ — топологическая группа, $X$ — топологическое пространство, а $\varphi : \mathcal{G} \times X \rightarrow X$ — отображение. Для $g \in \mathcal{G}$ определим отображение $\pi (g)$ : $X \rightarrow X$ формулой $\pi (g) x = \varphi (g, x)$ для всех $x \in X$. Какими свойствами должно обладать $\varphi$, чтобы $\pi$ было представлением группы $\mathcal{G}$ на $C(X)$? Какими дополнительными свойствами должно обладать $\varphi$, чтобы для каждого $x \in X$ отображение $g \mapsto \pi (g) x$ было непрерывным?

Пусть $\mu$ — борелевская вероятностная мера на компактной группе $\mathcal{G}$. Покажите, что $\mu$ является мерой Хаара тогда и только тогда, когда

где $\varphi_{g}\left(g^{\prime }\right) = g \cdot g^{\prime }$ для всех $g^{\prime } \in \mathcal{G}$.

Пусть $\mu$ — мера Хаара на компактной группе $\mathcal{G}$. Покажите, что $\mu \times \mu$ является мерой Хаара на $\mathcal{G} \times \mathcal{G}$.

Пусть $\mathcal{G}$ — компактная группа, топология которой задаётся метрикой. Покажите, что существует $\mathcal{G}$-инвариантная метрика.

Пусть $\mu$ — мера Хаара на компактной группе $\mathcal{G}$. Если $\mathcal{G}$ содержит бесконечно много элементов, покажите, что $\mu (\left\{ g\right\} ) = 0$ для каждого $g \in \mathcal{G}$. Если $\mathcal{G}$ конечна, явно опишите $\mu$.

Покажите, что если $\mu$ — мера Хаара на компактной группе, то $\mu (\mathcal{O}) > 0$ для каждого открытого подмножества $\mathcal{O}$ группы $\mathcal{G}$.

Пусть $S^{1} = \left\{ z = e^{i \theta } \mid \theta \in \mathbb {R}\right\}$ — окружность с групповой операцией комплексного умножения и топологией, унаследованной от евклидовой плоскости.

Пусть $\mu$ — борелевская мера на топологической группе $\mathcal{G}$. Для борелевского множества $E$ определим $\mu^{\prime }(E) = \mu \left(E^{-1}\right)$, где $E^{-1} = \left\{ g^{-1} \mid g \in E\right\}$. Покажите, что $\mu^{\prime }$ также является борелевской мерой. Более того, покажите, что $\mu$ левоинвариантна тогда и только тогда, когда $\mu^{\prime }$ правоинвариантна.

Даёт ли доказательство теоремы Боголюбова–Крылова также доказательство и в случае, когда $X$ компактно хаусдорфово, но не обязательно метризуемо?

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, а $T: X \rightarrow X$ — измеримое преобразование. Для измеримой функции $g$ на $X$ определим измеримую функцию $U_{T}(g)$ формулой $U_{T}(g)(x) = g(T(x))$. Покажите, что $T$ сохраняет меру тогда и только тогда, когда для каждого $1 \leq p < \infty$ отображение $U_{T}$ переводит $L^{p}(X, \mu )$ в себя и является изометрией.

Предположим, что $T: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ линейно. Установите необходимые и достаточные условия того, чтобы $T$ сохраняло меру относительно меры Лебега на $\mathbb {R}^{n}$.

Пусть $S^{1} = \left\{ z = e^{i \theta } \mid \theta \in \mathbb {R}\right\}$ — окружность с групповой операцией комплексного умножения, а $\mu$ — мера Хаара на этой группе (см. задачу 24). Определим $T: S^{1} \rightarrow S^{1}$ формулой $T(z) = z^{2}$. Покажите, что $T$ сохраняет $\mu$.

Пусть $T$ — сохраняющее меру преобразование на пространстве с конечной мерой ($X, \mathcal{M}, \mu$), а множество $A$ измеримо. Покажите, что для почти всех $x \in X$ существует бесконечно много натуральных чисел $n$, для которых $T^{n}(x)$ принадлежит $A$.