Теорема Какутани о неподвижной точке

Покажите, что сопряжённое к представлению также является представлением.

Покажите, что вероятностный функционал имеет норму 1.

Пусть $E$ — рефлексивное банахово пространство, а $K^{*}$ — выпуклое подмножество $E^{*}$, замкнутое относительно метрики, порождённой нормой. Покажите, что $K^{*}$ слабо-* замкнуто. С другой стороны, покажите, что если $E$ не рефлексивно, то образ замкнутого единичного шара из $E$ при естественном вложении $E$ в $\left(E^{*}\right)^{*} = E^{* *}$ является подмножеством $E^{* *}$, которое выпукло, замкнуто и ограничено относительно метрики, порождённой нормой, но не является слабо-* замкнутым.

Пусть $\mathcal{G}$ — компактная группа, $E$ — рефлексивное банахово пространство, а $\pi : \mathcal{G} \rightarrow \mathrm{GL}(E)$ — представление. Предположим, что для каждого $x \in E$ отображение $g \mapsto \pi (g) x$ непрерывно. Предположим также, что существует непустое сильно замкнутое, ограниченное, выпуклое подмножество $K$ пространства $E$, инвариантное относительно $\pi$. Покажите, что $K$ содержит точку, неподвижную относительно $\pi$.

Пусть $\mathcal{G}$ — топологическая группа, $E$ — банахово пространство, а $\pi : \mathcal{G} \rightarrow \mathrm{GL}(E)$ — представление. Для $x \in E$ покажите, что отображение $g \mapsto \pi (g) x$ непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в точке $e$.

Предположим, что $\mathcal{G}$ — топологическая группа, $X$ — топологическое пространство, а $\varphi : \mathcal{G} \times X \rightarrow X$ — отображение. Для $g \in \mathcal{G}$ определим отображение $\pi (g)$ : $X \rightarrow X$ формулой $\pi (g) x = \varphi (g, x)$ для всех $x \in X$. Какими свойствами должно обладать $\varphi$, чтобы $\pi$ было представлением группы $\mathcal{G}$ на $C(X)$? Какими дополнительными свойствами должно обладать $\varphi$, чтобы для каждого $x \in X$ отображение $g \mapsto \pi (g) x$ было непрерывным?