Топологические группы: общая линейная группа

Если $\mathcal{T}_{e}$ — база топологии в точке $e$, покажите, что $\left\{ g \cdot \mathcal{O} \mid \mathcal{O} \in \mathcal{T}_{e}\right\}$ — база топологии в точке $g \in \mathcal{G}$.

Покажите, что $K_{1} \cdot K_{2}$ компактно, если $K_{1}$ и $K_{2}$ — компактные подмножества $\mathcal{G}$.

Пусть $\mathcal{O}$ — окрестность $e$. Покажите, что существует также окрестность $\mathcal{U}$ точки $e$, для которой $\mathcal{U} = \mathcal{U}^{-1}$ и $\mathcal{U} \cdot \mathcal{U} \subseteq \mathcal{O}$.

Покажите, что замыкание $\bar{H}$ подгруппы $H$ является подгруппой $\mathcal{G}$.

Пусть $\mathcal{G}_{1}$ и $\mathcal{G}_{2}$ — топологические группы, а $h: \mathcal{G}_{1} \rightarrow \mathcal{G}_{2}$ — гомоморфизм групп. Покажите, что $h$ непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в единичном элементе $\mathcal{G}_{1}$.

Используйте принцип сжимающих отображений Банаха, чтобы доказать лемму 1.

Лемма 1: Пусть $E$ — банахово пространство, а оператор $C \in \mathcal{L}(E)$ удовлетворяет условию $\left\| C\right\| < 1$. Тогда $\operatorname {Id} - C$ обратим и $\left\| (\operatorname {Id} - C)^{-1}\right\| \leq (1 - \left\| C\right\| )^{-1}$.

Используя полноту $\mathcal{L}(E)$, покажите, что если $C \in \mathcal{L}(E)$ и $\left\| C\right\| < 1$, то $\sum_{k = 0}^{\infty } C^{k}$ сходится в $\mathcal{L}(E)$.

Покажите, что множество обратимых вещественных $n \times n$ матриц с определителем 1 является топологической группой, если групповой операцией служит умножение матриц, а топология задаётся покоординатной непрерывностью. Эта топологическая группа называется специальной линейной группой и обозначается $\operatorname {SL}(n, \mathbb {R})$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Покажите, что оператор из $\mathrm{GL}(H)$ сохраняет норму тогда и только тогда, когда он сохраняет скалярное произведение.

Рассмотрим $\mathbb {R}^{n}$ с евклидовым скалярным произведением и нормой. Охарактеризуйте те $n \times n$ матрицы, которые представляют ортогональные операторы относительно ортонормированного базиса.

Покажите, что $\operatorname {GL}(E)$ открыто в $\mathcal{L}(E)$.

Покажите, что множество операторов из $\mathrm{GL}(E)$, состоящее из линейных компактных возмущений тождественного оператора, является подгруппой в $\operatorname {GL}(E)$. Она обозначается $\operatorname {GLc}(E)$.