Сохраняющие меру преобразования и эргодичность

Даёт ли доказательство теоремы Боголюбова–Крылова также доказательство и в случае, когда $X$ компактно хаусдорфово, но не обязательно метризуемо?

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, а $T: X \rightarrow X$ — измеримое преобразование. Для измеримой функции $g$ на $X$ определим измеримую функцию $U_{T}(g)$ формулой $U_{T}(g)(x) = g(T(x))$. Покажите, что $T$ сохраняет меру тогда и только тогда, когда для каждого $1 \leq p < \infty$ отображение $U_{T}$ переводит $L^{p}(X, \mu )$ в себя и является изометрией.

Предположим, что $T: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ линейно. Установите необходимые и достаточные условия того, чтобы $T$ сохраняло меру относительно меры Лебега на $\mathbb {R}^{n}$.

Пусть $S^{1} = \left\{ z = e^{i \theta } \mid \theta \in \mathbb {R}\right\}$ — окружность с групповой операцией комплексного умножения, а $\mu$ — мера Хаара на этой группе (см. задачу 24). Определим $T: S^{1} \rightarrow S^{1}$ формулой $T(z) = z^{2}$. Покажите, что $T$ сохраняет $\mu$.

Пусть $T$ — сохраняющее меру преобразование на пространстве с конечной мерой ($X, \mathcal{M}, \mu$), а множество $A$ измеримо. Покажите, что для почти всех $x \in X$ существует бесконечно много натуральных чисел $n$, для которых $T^{n}(x)$ принадлежит $A$.