22.3

Инвариантные борелевские меры на компактных группах: теорема фон Неймана

[7/0%]
Показать
LaTeX
Задача 22.19

Пусть μ\mu — борелевская вероятностная мера на компактной группе G\mathcal{G}. Покажите, что μ\mu является мерой Хаара тогда и только тогда, когда

∫Gf∘φgdμ=∫Gfdμ для всех g∈G,f∈C(G) \int _{\mathcal{G}} f \circ \varphi _{g} d \mu = \int _{\mathcal{G}} f d \mu \text{ для всех } g \in \mathcal{G}, f \in C(\mathcal{G})

где φg(g′)=g⋅g′\varphi_{g}\left(g^{\prime }\right) = g \cdot g^{\prime } для всех g′∈Gg^{\prime } \in \mathcal{G}.

?
Задача 22.20

Пусть μ\mu — мера Хаара на компактной группе G\mathcal{G}. Покажите, что μ×μ\mu \times \mu является мерой Хаара на G×G\mathcal{G} \times \mathcal{G}.

?
Задача 22.21

Пусть G\mathcal{G} — компактная группа, топология которой задаётся метрикой. Покажите, что существует G\mathcal{G}-инвариантная метрика.

?
Задача 22.22

Пусть μ\mu — мера Хаара на компактной группе G\mathcal{G}. Если G\mathcal{G} содержит бесконечно много элементов, покажите, что μ({g})=0\mu (\left\{ g\right\} ) = 0 для каждого g∈Gg \in \mathcal{G}. Если G\mathcal{G} конечна, явно опишите μ\mu.

?
Задача 22.23

Покажите, что если μ\mu — мера Хаара на компактной группе, то μ(O)>0\mu (\mathcal{O}) > 0 для каждого открытого подмножества O\mathcal{O} группы G\mathcal{G}.

?
Задача 22.24

Пусть S1={z=eiθ∣θ∈R}S^{1} = \left\{ z = e^{i \theta } \mid \theta \in \mathbb {R}\right\} — окружность с групповой операцией комплексного умножения и топологией, унаследованной от евклидовой плоскости.

?
(i)

Покажите, что S1S^{1} является топологической группой.

(ii)

Определим Λ={(α,β)∣α,β∈R,0<β−α<2π}\Lambda = \left\{ (\alpha , \beta ) \mid \alpha , \beta \in \mathbb {R}, 0 < \beta -\alpha < 2 \pi \right\}. Для λ=(α,β)∈Λ\lambda = (\alpha , \beta ) \in \Lambda определим Iα={eiθ∣α<θ<β}I_{\alpha } = \left\{ e^{i \theta } \mid \alpha < \theta < \beta \right\}. Покажите, что каждое собственное открытое подмножество S1S^{1} является счётным дизъюнктным объединением множеств вида Iλ,λ∈ΛI_{\lambda }, \lambda \in \Lambda.

(iii)

Для λ=(α,β)∈Λ\lambda = (\alpha , \beta ) \in \Lambda определим μ(Iα)=(β−α)/2π\mu \left(I_{\alpha }\right) = (\beta -\alpha ) / 2 \pi. Определим μ(S1)=1\mu \left(S^{1}\right) = 1. Используя пункт (ii), продолжите μ\mu до функции множества, определённой на топологии T\mathcal{T} пространства S1S^{1}. Затем убедитесь, что, согласно предложению 9 из предыдущей главы, μ\mu может быть продолжена до борелевской меры μ\mu на B(S1)\mathcal{B}\left(S^{1}\right). (Предложение 9 главы 21: Пусть (X,T)(X, \mathcal{T}) — топологическое пространство, а μ:T→[0,∞]\mu : \mathcal{T} \rightarrow [0, \infty ] — предмера. Предположим, что для каждого открытого множества OO, для которого μ(O)<∞\mu (O) < \infty, выполнено μ(O)=sup⁡{μ(U)∣U открыто и U⊆O}\mu (O) = \sup \left\{ \mu (U) \mid U \text{ открыто и } U \subseteq O\right\}. Тогда каждое открытое множество является μ∗\mu^{*}-измеримым, и мера μ∗:B(X)→[0,∞]\mu^{*}: \mathcal{B}(X) \rightarrow [0, \infty ] является продолжением μ\mu.)

(iv)

Покажите, что мера, определённая в пункте (ii), является мерой Хаара на S1S^{1}.

(v)

Тор TnT^{n} — это топологическая группа, состоящая из декартова произведения nn экземпляров S1S^{1} с топологией и групповой структурой произведения. Что представляет собой мера Хаара на TnT^{n}?

Задача 22.25

Пусть μ\mu — борелевская мера на топологической группе G\mathcal{G}. Для борелевского множества EE определим μ′(E)=μ(E−1)\mu^{\prime }(E) = \mu \left(E^{-1}\right), где E−1={g−1∣g∈E}E^{-1} = \left\{ g^{-1} \mid g \in E\right\}. Покажите, что μ′\mu^{\prime } также является борелевской мерой. Более того, покажите, что μ\mu левоинвариантна тогда и только тогда, когда μ′\mu^{\prime } правоинвариантна.

?