Возвращение компактности: слабая топология

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство с замкнутым единичным шаром $B$, и предположим, что функция $f: B \rightarrow [-1,1]$ обладает тем свойством, что всякий раз, когда $u, v, u+v$ и $\lambda u$ принадлежат $B$, выполняется $f(u+v) = f(u)+ f(v)$ и $f(\lambda u) = \lambda f(u)$. Покажите, что $f$ является сужением на $B$ линейного функционала на всем $X$, который принадлежит замкнутому единичному шару $X^{*}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, а $K$ — ограниченное выпуклое слабо-* замкнутое подмножество $X^{*}$. Покажите, что $K$ обладает крайней точкой.

Покажите, что любое непустое слабо открытое множество в бесконечномерном нормированном линейном пространстве неограничено по норме.

Используя теорему Бэра о категориях и предыдущую задачу, покажите, что слабая топология на бесконечномерном банаховом пространстве не метризуема полной метрикой.

Изоморфно ли каждое банахово пространство сопряженному к некоторому банахову пространству?

Покажите, что каждое слабо компактное подмножество нормированного линейного пространства ограничено по норме.

Покажите, что замкнутый единичный шар $B^{*}$ сопряженного пространства $X^{*}$ банахова пространства $X$ имеет крайнюю точку.

Пусть $\mathcal{T}_{1}$ и $\mathcal{T}_{2}$ — две компактные хаусдорфовы топологии на множестве $\mathcal{S}$, для которых $\mathcal{T}_{1} \subseteq \mathcal{T}_{2}$. Покажите, что $\mathcal{T}_{1} = \mathcal{T}_{2}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, содержащее подпространство $Y$. Для $A \subseteq Y$ покажите, что слабая топология на $A$, индуцированная $Y^{*}$, совпадает с топологией, которую $A$ наследует как подпространство $X$ с его слабой топологией.

Проведите следующее рассуждение, чтобы показать, что банахово пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда рефлексивно его сопряженное пространство $X^{*}$.

Для банахова пространства $X$, согласно предыдущей задаче, если $X$ рефлексивно, то и $X^{*}$ тоже. Заключите, что $X$ не рефлексивно, если существует замкнутое подпространство $X^{*}$, которое не рефлексивно. Пусть $K$ — бесконечное компактное хаусдорфово пространство, а $\left\{ x_{n}\right\}$ — нумерация счетного бесконечного подмножества $K$. Определите оператор $T: l^{1} \rightarrow [C(K)]^{*}$ формулой

Покажите, что $T$ является изоморфизмом, и поэтому, поскольку $l^{1}$ не рефлексивно, $T\left(l^{1}\right)$ тоже не рефлексивно, а значит, и $C(K)$ не рефлексивно. С помощью аргумента подсчета размерности покажите, что $C(K)$ рефлексивно, если $K$ — конечное множество.

Если $Y$ — линейное подпространство банахова пространства $X$, определим аннулятор $Y^{\perp }$ как подпространство $X^{*}$, состоящее из тех $\psi \in X^{*}$, для которых $\psi = 0$ на $Y$. Если $Y$ — подпространство $X^{*}$, определим $Y^{0}$ как подпространство векторов в $X$, для которых $\psi (x) = 0$ для всех $\psi \in Y$.

В общем топологическом пространстве, не являющемся метризуемым, последовательность может сходиться более чем к одной точке. Покажите, что этого не может произойти для $W$-слабой топологии на нормированном линейном пространстве $X$, где $W$ — подпространство $X^{*}$, разделяющее точки в $X$.

Покажите, что существует ограниченная последовательность в $L^{\infty }[0,1]$, не имеющая слабо сходящейся подпоследовательности. Покажите, что замкнутый единичный шар $C[a, b]$ не является слабо компактным.

Пусть $K$ — компактное метрическое пространство с бесконечным числом точек. Покажите, что существует ограниченная последовательность в $C(K)$, не имеющая слабо сходящейся подпоследовательности (см. Задачу 11), но каждая ограниченная последовательность непрерывных линейных функционалов на $C(K)$ имеет подпоследовательность, поточечно сходящуюся к непрерывному линейному функционалу на $C(K)$.

Покажите, что сопряженное к бесконечномерному нормированному линейному пространству также бесконечномерно.

Завершите последний шаг доказательства Теоремы 10, показав, что неравенства (11) влекут, что метрика $\rho$ индуцирует $W$-слабую топологию.

Теорема 10: Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, а $W$ — сепарабельное подпространство $X^{*}$, разделяющее точки в $X$. Тогда $W$-слабая топология на замкнутом единичном шаре $B$ пространства $X$ метризуема. Доказательство строит счетное плотное подмножество $\left\{ \psi_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ множества $B^{*} \cap W$ (где $B^{*}$ — замкнутый единичный шар $X^{*}$) и определяет метрику

для которой при каждом натуральном $n$

Пусть $X$ — банахово пространство, $W$ — замкнутое подпространство его сопряженного $X^{*}$, а $\psi_{0}$ принадлежит $X^{*} \sim W$. Покажите, что если $W$ или $X$ рефлексивно, то существует вектор $x_{0}$ в $X$, для которого $\psi_{0}\left(x_{0}\right) \neq 0$, но $\psi \left(x_{0}\right) = 0$ для всех $\psi \in W$. Приведите пример бесконечномерного замкнутого подпространства $W$ пространства $X^{*}$, для которого это свойство отделимости не выполняется.