Рефлексивность и слабая компактность: теорема Какутани

Покажите, что каждое слабо компактное подмножество нормированного линейного пространства ограничено по норме.

Покажите, что замкнутый единичный шар $B^{*}$ сопряженного пространства $X^{*}$ банахова пространства $X$ имеет крайнюю точку.

Пусть $\mathcal{T}_{1}$ и $\mathcal{T}_{2}$ — две компактные хаусдорфовы топологии на множестве $\mathcal{S}$, для которых $\mathcal{T}_{1} \subseteq \mathcal{T}_{2}$. Покажите, что $\mathcal{T}_{1} = \mathcal{T}_{2}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, содержащее подпространство $Y$. Для $A \subseteq Y$ покажите, что слабая топология на $A$, индуцированная $Y^{*}$, совпадает с топологией, которую $A$ наследует как подпространство $X$ с его слабой топологией.

Проведите следующее рассуждение, чтобы показать, что банахово пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда рефлексивно его сопряженное пространство $X^{*}$.

Для банахова пространства $X$, согласно предыдущей задаче, если $X$ рефлексивно, то и $X^{*}$ тоже. Заключите, что $X$ не рефлексивно, если существует замкнутое подпространство $X^{*}$, которое не рефлексивно. Пусть $K$ — бесконечное компактное хаусдорфово пространство, а $\left\{ x_{n}\right\}$ — нумерация счетного бесконечного подмножества $K$. Определите оператор $T: l^{1} \rightarrow [C(K)]^{*}$ формулой

Покажите, что $T$ является изоморфизмом, и поэтому, поскольку $l^{1}$ не рефлексивно, $T\left(l^{1}\right)$ тоже не рефлексивно, а значит, и $C(K)$ не рефлексивно. С помощью аргумента подсчета размерности покажите, что $C(K)$ рефлексивно, если $K$ — конечное множество.

Если $Y$ — линейное подпространство банахова пространства $X$, определим аннулятор $Y^{\perp }$ как подпространство $X^{*}$, состоящее из тех $\psi \in X^{*}$, для которых $\psi = 0$ на $Y$. Если $Y$ — подпространство $X^{*}$, определим $Y^{0}$ как подпространство векторов в $X$, для которых $\psi (x) = 0$ для всех $\psi \in Y$.