Компактность и слабая последовательная компактность: теорема Эберлейна-Шмульяна

В общем топологическом пространстве, не являющемся метризуемым, последовательность может сходиться более чем к одной точке. Покажите, что этого не может произойти для $W$-слабой топологии на нормированном линейном пространстве $X$, где $W$ — подпространство $X^{*}$, разделяющее точки в $X$.

Покажите, что существует ограниченная последовательность в $L^{\infty }[0,1]$, не имеющая слабо сходящейся подпоследовательности. Покажите, что замкнутый единичный шар $C[a, b]$ не является слабо компактным.

Пусть $K$ — компактное метрическое пространство с бесконечным числом точек. Покажите, что существует ограниченная последовательность в $C(K)$, не имеющая слабо сходящейся подпоследовательности (см. Задачу 11), но каждая ограниченная последовательность непрерывных линейных функционалов на $C(K)$ имеет подпоследовательность, поточечно сходящуюся к непрерывному линейному функционалу на $C(K)$.