Метризуемость слабых топологий

Покажите, что сопряженное к бесконечномерному нормированному линейному пространству также бесконечномерно.

Завершите последний шаг доказательства Теоремы 10, показав, что неравенства (11) влекут, что метрика $\rho$ индуцирует $W$-слабую топологию.

Теорема 10: Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, а $W$ — сепарабельное подпространство $X^{*}$, разделяющее точки в $X$. Тогда $W$-слабая топология на замкнутом единичном шаре $B$ пространства $X$ метризуема. Доказательство строит счетное плотное подмножество $\left\{ \psi_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ множества $B^{*} \cap W$ (где $B^{*}$ — замкнутый единичный шар $X^{*}$) и определяет метрику

для которой при каждом натуральном $n$

Пусть $X$ — банахово пространство, $W$ — замкнутое подпространство его сопряженного $X^{*}$, а $\psi_{0}$ принадлежит $X^{*} \sim W$. Покажите, что если $W$ или $X$ рефлексивно, то существует вектор $x_{0}$ в $X$, для которого $\psi_{0}\left(x_{0}\right) \neq 0$, но $\psi \left(x_{0}\right) = 0$ для всех $\psi \in W$. Приведите пример бесконечномерного замкнутого подпространства $W$ пространства $X^{*}$, для которого это свойство отделимости не выполняется.