Обобщение Алаоглу теоремы Хелли

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство с замкнутым единичным шаром $B$, и предположим, что функция $f: B \rightarrow [-1,1]$ обладает тем свойством, что всякий раз, когда $u, v, u+v$ и $\lambda u$ принадлежат $B$, выполняется $f(u+v) = f(u)+ f(v)$ и $f(\lambda u) = \lambda f(u)$. Покажите, что $f$ является сужением на $B$ линейного функционала на всем $X$, который принадлежит замкнутому единичному шару $X^{*}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, а $K$ — ограниченное выпуклое слабо-* замкнутое подмножество $X^{*}$. Покажите, что $K$ обладает крайней точкой.

Покажите, что любое непустое слабо открытое множество в бесконечномерном нормированном линейном пространстве неограничено по норме.

Используя теорему Бэра о категориях и предыдущую задачу, покажите, что слабая топология на бесконечномерном банаховом пространстве не метризуема полной метрикой.

Изоморфно ли каждое банахово пространство сопряженному к некоторому банахову пространству?