Метрические пространства: три фундаментальные теоремы и их применения

Пусть $E$ — компактное подпространство метрического пространства $Y$. Покажите, что $E$ является замкнутым ограниченным подмножеством $Y$.

Покажите, что равностепенно непрерывная последовательность вещественнозначных функций на компактном метрическом пространстве поточечно ограничена тогда и только тогда, когда она равномерно ограничена.

Покажите, что равностепенно непрерывное семейство непрерывных функций на компактном метрическом пространстве равномерно равностепенно непрерывно.

Пусть $X$ — метрическое пространство, а $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $C(X)$, равномерно сходящаяся на $X$ к $f \in C(X)$. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ равностепенно непрерывна.

Вещественнозначная функция $f$ на $[0,1]$ называется гёльдеровой непрерывной порядка $\alpha$, если существует константа $C$, для которой

Определим гёльдерову норму

Покажите, что при $0 < \alpha \leq 1$ множество функций, для которых $\left\| f\right\|_{\alpha } \leq 1$, имеет компактное замыкание как подмножество $C[0,1]$.

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство, а $\mathcal{F}$ — подмножество $C(X)$. Покажите, что $\mathcal{F}$ равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда его замыкание в $C(X)$, $\overline{\mathcal{F}}$, равностепенно непрерывно. Заключите, что подмножество $C(X)$ имеет компактное замыкание тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно и равномерно ограничено.

Для замкнутого ограниченного интервала $[a, b]$ пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $C[a, b]$. Если $\left\{ f_{n}\right\}$ равностепенно непрерывна, обязательно ли $\left\{ f_{n}\right\}$ имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность? Если $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно ограничена, обязательно ли $\left\{ f_{n}\right\}$ имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность?

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство, а $Y$ — произвольное метрическое пространство. Обозначим через $C(X, Y)$ множество непрерывных отображений из $X$ в $Y$. Сформулируйте и докажите вариант теоремы Арцела--Асколи для последовательности в $C(X, Y)$, в котором предположение о том, что $\left\{ f_{n}\right\}$ поточечно ограничена, заменено предположением, что для каждого $x \in X$ замыкание множества $\left\{ f_{n}(x) \mid n \text{ — натуральное число}\right\}$ является компактным подпространством $Y$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — равностепенно непрерывная, равномерно ограниченная последовательность непрерывных вещественнозначных функций на $\mathbb {R}$. Покажите, что существует подпоследовательность $\left\{ f_{n}\right\}$, сходящаяся поточечно на $\mathbb {R}$ к непрерывной функции на $\mathbb {R}$, причём сходимость равномерна на каждом ограниченном подмножестве $\mathbb {R}$.

Для $1 \leq p < \infty$ покажите, что подпространство $\ell^{p}$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, ограничено и равносуммируемо.

Для последовательности неотрицательных вещественных чисел $\left\{ c_{n}\right\}$ пусть $\mathcal{S}$ — подмножество $\ell^{2}$, состоящее из тех $x = \left\{ x_{n}\right\} \in \ell^{2}$, для которых $\left|x_{n}\right| \leq c_{n}$ для всех $n$. Покажите, что $\mathcal{S}$ равносуммируемо, если $\left\{ c_{n}\right\}$ принадлежит $\ell^{2}$.

Для $1 \leq p \leq \infty$ покажите, что замкнутый единичный шар в $\ell^{p}$ не компактен.

Для $1 \leq p \leq \infty$ покажите, что замкнутый единичный шар в пространстве $L^{p}[0,1]$ не компактен.

Пусть $S$ — счётное множество, а $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность вещественнозначных функций на $S$, поточечно ограниченная на $S$. Покажите, что существует подпоследовательность $\left\{ f_{n}\right\}$, сходящаяся поточечно на $S$ к вещественнозначной функции.

Пусть $p$ — многочлен. Покажите, что $p: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ липшицево тогда и только тогда, когда степень $p$ меньше 2.

Зафиксируем $\alpha > 0$, определим $f(x) = \alpha x(1-x)$ для $x$ из $[0,1]$.

Обязательно ли отображение метрического пространства $X$ в себя, липшицево с константой Липшица меньше 1, имеет неподвижную точку?

Обязательно ли отображение полного метрического пространства в себя, липшицево с константой Липшица 1, имеет неподвижную точку?

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство, а $T$ — отображение $X$ в себя, такое что

Покажите, что $T$ имеет единственную неподвижную точку.

Определим $f(x) = \pi / 2+x-\arctan x$ для всех вещественных чисел $x$. Покажите, что

Покажите, что $f$ не имеет неподвижной точки. Противоречит ли это предыдущей задаче?

В евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ рассмотрим замкнутый единичный шар $B = \left\{ x \in \mathbb {R}^{n} \mid \left\| x\right\| \leq 1\right\}$. Пусть $f$ отображает $B$ в $B$ и липшицево с константой Липшица 1. Не используя теорему Брауэра о неподвижной точке, покажите, что $f$ имеет неподвижную точку.

Предположим, что отображение $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ является сжатием. Определим $g(x) = x-f(x)$ для всех $x$ из $\mathbb {R}^{n}$. Покажите, что отображение $g: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ инъективно и сюръективно. Также покажите, что $g$ и обратное к нему отображение непрерывны.

Пусть $X$ — полное метрическое пространство, содержащее точку $x_{0}$, и пусть $r$ — положительное вещественное число. Определим $K = \left\{ x \text{ из } X \mid \rho \left(x, x_{0}\right) \leq r\right\}$. Предположим, что отображение $T: K \rightarrow X$ липшицево с константой Липшица $c$. Предположим также, что $c r+\rho \left(T\left(x_{0}\right), x_{0}\right) \leq r$. Докажите, что $T(K) \subseteq K$ и что $T: K \rightarrow X$ имеет неподвижную точку.

Покажите, что если функция $g: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ имеет непрерывные частные производные первого порядка, то для каждой точки $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ в $\mathbb {R}^{2}$ существует окрестность $\mathcal{O}$ точки ($x_{0}, y_{0}$), на которой выполнено предположение Липшица (7).

В случае, когда функция $g: \mathcal{O} \rightarrow \mathbb {R}$ имеет вид $g(x, y) = h(x)+b y$, где функция $h: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, докажите, что следующее является явной формулой для решения (5):

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Покажите, что функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, тождественно равная 0, является решением, и что функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, определённая как $f(x) = 0$, если $x < 0$, и $f(x) = x^{3}$, если $x \geq 0$, также является решением. Противоречит ли это теореме существования Пикара?

Для положительного числа $\epsilon$ рассмотрим дифференциальное уравнение

Покажите, что на интервале $I = (-\epsilon (\pi / 2), \epsilon (\pi / 2))$ существует единственное решение этого дифференциального уравнения, задаваемое формулой $f(x) = \tan (x / \epsilon )$, и что не существует решения на интервале, строго содержащем $I$.

Пусть $I$ — открытый интервал в $\mathbb {R}$, и предположим, что функция $h: I \rightarrow \mathbb {R}$ обладает свойством: существуют точки $x_{1} < x_{2}$ в $I$ и число $c$, такие что $h\left(x_{1}\right) < c < h\left(x_{2}\right)$, но $c$ не принадлежит $h(I)$. Докажите, что решения дифференциального уравнения (5) не существует, рассуждая следующим образом: если $f: I \rightarrow \mathbb {R}$ — решение, то непрерывная функция $f(x)-c x$ не достигает минимального значения на интервале $\left[x_{1}, x_{2}\right]$.

Используя предыдущее упражнение, докажите, что если $I$ — открытый интервал в $\mathbb {R}$ и функция $f: I \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируема, то образ производной $f^{\prime }: I \rightarrow \mathbb {R}$ является интервалом.

Сформулируйте и докажите вариант теоремы существования Пикара для систем дифференциальных уравнений в следующем контексте: $\mathcal{O}$ — открытое подмножество $\mathbb {R} \times \mathbb {R}^{n}$, $\mathbf{g}: \mathcal{O} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ непрерывно, точка ($x_{0}, \mathbf{y}_{0}$) принадлежит $\mathcal{O}$, и система дифференциальных уравнений имеет вид

Пусть $E$ — подмножество метрического пространства $X$. Покажите, что bd $E$ замкнуто. Также покажите, что если $E$ замкнуто, то внутренность $\operatorname {bd} E$ пуста.

В метрическом пространстве $X$ покажите, что подмножество $E$ нигде не плотно тогда и только тогда, когда для каждого открытого подмножества $\mathcal{O}$ пространства $X$ множество $E \cap \mathcal{O}$ не плотно в $\mathcal{O}$.

В полном метрическом пространстве $X$, является ли объединение счётного семейства нигде не плотных множеств также нигде не плотным?

Пусть $\mathcal{O}$ — открытое подмножество, а $F$ — замкнутое подмножество метрического пространства $X$. Покажите, что как $\overline{\mathcal{O}} \sim \mathcal{O}$, так и $F \sim \operatorname {int} F$ замкнуты и пусты внутри.

В полном метрическом пространстве, является ли объединение счётного семейства множеств первой категории также множеством первой категории?

Пусть $F_{n}$ — подмножество $C[0,1]$, состоящее из функций, для которых существует точка $x_{0}$ в $[0,1]$, такая что $\left|f(x)-f(x_{0})\right| \leq n\left|x-x_{0}\right|$ для всех $x \in [0,1]$. Покажите, что $F_{n}$ замкнуто. Покажите, что $F_{n}$ пусто внутри, заметив, что для $f \in C[0,1]$ и $r > 0$ существует кусочно-линейная функция $g \in C[0,1]$, для которой $\rho_{\max }(f, g) < r$, а левая и правая производные $g$ на $[0,1]$ превышают $n+1$. Заключите, что $C[0,1] \neq \bigcup_{n = 1}^{\infty } F_{n}$, и покажите, что каждая функция $h \in C[0,1] \sim \bigcup_{n = 1}^{\infty } F_{n}$ не дифференцируема ни в одной точке из (0,1).

Пусть $f$ — вещественнозначная функция на метрическом пространстве $X$. Покажите, что множество точек, в которых $f$ непрерывна, является пересечением счётного семейства открытых множеств. Заключите, что не существует вещественнозначной функции на $\mathbb {R}$, непрерывной в точности в рациональных точках.

Для каждого $n$ покажите, что в $[0,1]$ существует нигде не плотное замкнутое множество, имеющее меру Лебега $1-1 / n$. Используя это, постройте множество первой категории в $[0,1]$, имеющее меру 1.

Точка $x$ в метрическом пространстве $X$ называется изолированной, если одноточечное множество $\left\{ x\right\}$ открыто в $X$.

Пусть $E$ — подмножество полного метрического пространства $X$. Проверьте следующие утверждения.

Покажите, что при условиях теоремы 6 существует плотное открытое множество $\mathcal{O} \subseteq X$, такое что каждая точка $x \in \mathcal{O}$ имеет окрестность $U$, на которой $\mathcal{F}$ равномерно ограничено.

Теорема 6 (нелинейная теорема о равномерной ограниченности): Пусть $\mathcal{F}$ — семейство непрерывных вещественнозначных функций на полном метрическом пространстве $X$, поточечно ограниченное. Тогда существует шар в $X$, на котором $\mathcal{F}$ равномерно поточечно ограничено.

По неравенству Гёльдера $L^{2}[a, b] \subseteq L^{1}[a, b]$. Покажите, что множество $L^{2}[a, b]$, рассматриваемое как подмножество полного метрического пространства $L^{1}[a, b]$, является множеством первой категории.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$, обладающая свойством, что для каждого вещественного числа $x$, $\lim_{n \rightarrow \infty } f(n x) = 0$. Покажите, что $\lim_{x \rightarrow \infty } f(x) = 0$.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$, имеющая производные всех порядков. Предположим, что для каждого вещественного числа $x$ существует индекс $n = n(x)$, для которого $f^{(n)}(x) = 0$. Покажите, что $f$ — многочлен.

Для измеримых множеств $A$ и $B$ в пространстве с конечной мерой ($X, \mathcal{M}, \mu$) покажите, что

Пусть $\left\{ A_{n}\right\}$ — последовательность измеримых множеств, сходящаяся к измеримому множеству $A_{0}$ относительно метрики Никодима. Покажите, что $A_{0} \simeq \cup_{n = 1}^{\infty }\left[\cap_{k = n}^{\infty } A_{k}\right]$.

Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — пространство с конечной мерой, а $\nu : \mathcal{M} \rightarrow [0, \infty )$ — конечно-аддитивная функция множества, обладающая свойством: для каждого $\epsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$, такое что для измеримого множества $E$, если $\mu (E) < \delta$, то $\nu (E) < \epsilon$. Покажите, что $\nu$ является мерой на $\mathcal{M}$.

Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — пространство с конечной мерой. Покажите, что нормированное линейное пространство $L^{1}(X, \mu )$ сепарабельно тогда и только тогда, когда сепарабельно соответствующее метрическое пространство Никодима.

Приведите пример убывающей последовательности $\left\{ \mu_{n}\right\}$ мер на $\mathcal{M}$, такой что функция множества $\mu$, определённая формулой $\mu (E) = \lim \mu_{n}(E)$, не является мерой.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ — последовательность мер на $\mathcal{M}$, такая что для каждого $E \in \mathcal{M}$ выполнено $\mu_{n+1}(E) \geq \mu_{n}(E)$. Для каждого $E \in \mathcal{M}$ определим $\mu (E) = \lim \mu_{n}(E)$. Покажите, что $\mu$ является мерой на $\mathcal{M}$, если $\mu (X) < \infty$.

Проверьте утверждение, использованное в доказательстве теоремы Данфорда–Петтиса, о том, что достаточно рассматривать неотрицательные функции.

Найдите ограниченную последовательность в $L^{1}([a, b], m)$, где $m$ — мера Лебега, которая не имеет слабо сходящейся подпоследовательности.

Найдите пространство с мерой ($X, \mathcal{M}, \mu$), для которого каждая ограниченная последовательность в $L^{1}(X, \mu )$ имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, а $\left\{ \nu_{n}\right\}$ — последовательность конечных мер на $\mathcal{M}$, каждая из которых абсолютно непрерывна относительно $\mu$. Докажите, что следующие условия эквивалентны: