Теорема Арцела-Асколи

Пусть $E$ — компактное подпространство метрического пространства $Y$. Покажите, что $E$ является замкнутым ограниченным подмножеством $Y$.

Покажите, что равностепенно непрерывная последовательность вещественнозначных функций на компактном метрическом пространстве поточечно ограничена тогда и только тогда, когда она равномерно ограничена.

Покажите, что равностепенно непрерывное семейство непрерывных функций на компактном метрическом пространстве равномерно равностепенно непрерывно.

Пусть $X$ — метрическое пространство, а $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $C(X)$, равномерно сходящаяся на $X$ к $f \in C(X)$. Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ равностепенно непрерывна.

Вещественнозначная функция $f$ на $[0,1]$ называется гёльдеровой непрерывной порядка $\alpha$, если существует константа $C$, для которой

Определим гёльдерову норму

Покажите, что при $0 < \alpha \leq 1$ множество функций, для которых $\left\| f\right\|_{\alpha } \leq 1$, имеет компактное замыкание как подмножество $C[0,1]$.

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство, а $\mathcal{F}$ — подмножество $C(X)$. Покажите, что $\mathcal{F}$ равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда его замыкание в $C(X)$, $\overline{\mathcal{F}}$, равностепенно непрерывно. Заключите, что подмножество $C(X)$ имеет компактное замыкание тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно и равномерно ограничено.

Для замкнутого ограниченного интервала $[a, b]$ пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $C[a, b]$. Если $\left\{ f_{n}\right\}$ равностепенно непрерывна, обязательно ли $\left\{ f_{n}\right\}$ имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность? Если $\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно ограничена, обязательно ли $\left\{ f_{n}\right\}$ имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность?

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство, а $Y$ — произвольное метрическое пространство. Обозначим через $C(X, Y)$ множество непрерывных отображений из $X$ в $Y$. Сформулируйте и докажите вариант теоремы Арцела--Асколи для последовательности в $C(X, Y)$, в котором предположение о том, что $\left\{ f_{n}\right\}$ поточечно ограничена, заменено предположением, что для каждого $x \in X$ замыкание множества $\left\{ f_{n}(x) \mid n \text{ — натуральное число}\right\}$ является компактным подпространством $Y$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — равностепенно непрерывная, равномерно ограниченная последовательность непрерывных вещественнозначных функций на $\mathbb {R}$. Покажите, что существует подпоследовательность $\left\{ f_{n}\right\}$, сходящаяся поточечно на $\mathbb {R}$ к непрерывной функции на $\mathbb {R}$, причём сходимость равномерна на каждом ограниченном подмножестве $\mathbb {R}$.

Для $1 \leq p < \infty$ покажите, что подпространство $\ell^{p}$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, ограничено и равносуммируемо.

Для последовательности неотрицательных вещественных чисел $\left\{ c_{n}\right\}$ пусть $\mathcal{S}$ — подмножество $\ell^{2}$, состоящее из тех $x = \left\{ x_{n}\right\} \in \ell^{2}$, для которых $\left|x_{n}\right| \leq c_{n}$ для всех $n$. Покажите, что $\mathcal{S}$ равносуммируемо, если $\left\{ c_{n}\right\}$ принадлежит $\ell^{2}$.

Для $1 \leq p \leq \infty$ покажите, что замкнутый единичный шар в $\ell^{p}$ не компактен.

Для $1 \leq p \leq \infty$ покажите, что замкнутый единичный шар в пространстве $L^{p}[0,1]$ не компактен.

Пусть $S$ — счётное множество, а $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность вещественнозначных функций на $S$, поточечно ограниченная на $S$. Покажите, что существует подпоследовательность $\left\{ f_{n}\right\}$, сходящаяся поточечно на $S$ к вещественнозначной функции.