Метрическое пространство Никодима: теорема Витали-Хана-Сакса и теорема Данфорда-Петтиса

Для измеримых множеств $A$ и $B$ в пространстве с конечной мерой ($X, \mathcal{M}, \mu$) покажите, что

Пусть $\left\{ A_{n}\right\}$ — последовательность измеримых множеств, сходящаяся к измеримому множеству $A_{0}$ относительно метрики Никодима. Покажите, что $A_{0} \simeq \cup_{n = 1}^{\infty }\left[\cap_{k = n}^{\infty } A_{k}\right]$.

Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — пространство с конечной мерой, а $\nu : \mathcal{M} \rightarrow [0, \infty )$ — конечно-аддитивная функция множества, обладающая свойством: для каждого $\epsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$, такое что для измеримого множества $E$, если $\mu (E) < \delta$, то $\nu (E) < \epsilon$. Покажите, что $\nu$ является мерой на $\mathcal{M}$.

Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — пространство с конечной мерой. Покажите, что нормированное линейное пространство $L^{1}(X, \mu )$ сепарабельно тогда и только тогда, когда сепарабельно соответствующее метрическое пространство Никодима.

Приведите пример убывающей последовательности $\left\{ \mu_{n}\right\}$ мер на $\mathcal{M}$, такой что функция множества $\mu$, определённая формулой $\mu (E) = \lim \mu_{n}(E)$, не является мерой.

Пусть $\left\{ \mu_{n}\right\}$ — последовательность мер на $\mathcal{M}$, такая что для каждого $E \in \mathcal{M}$ выполнено $\mu_{n+1}(E) \geq \mu_{n}(E)$. Для каждого $E \in \mathcal{M}$ определим $\mu (E) = \lim \mu_{n}(E)$. Покажите, что $\mu$ является мерой на $\mathcal{M}$, если $\mu (X) < \infty$.

Проверьте утверждение, использованное в доказательстве теоремы Данфорда–Петтиса, о том, что достаточно рассматривать неотрицательные функции.

Найдите ограниченную последовательность в $L^{1}([a, b], m)$, где $m$ — мера Лебега, которая не имеет слабо сходящейся подпоследовательности.

Найдите пространство с мерой ($X, \mathcal{M}, \mu$), для которого каждая ограниченная последовательность в $L^{1}(X, \mu )$ имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, а $\left\{ \nu_{n}\right\}$ — последовательность конечных мер на $\mathcal{M}$, каждая из которых абсолютно непрерывна относительно $\mu$. Докажите, что следующие условия эквивалентны: