Принцип сжимающих отображений Банаха и теорема Пикара

Пусть $p$ — многочлен. Покажите, что $p: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ липшицево тогда и только тогда, когда степень $p$ меньше 2.

Зафиксируем $\alpha > 0$, определим $f(x) = \alpha x(1-x)$ для $x$ из $[0,1]$.

Обязательно ли отображение метрического пространства $X$ в себя, липшицево с константой Липшица меньше 1, имеет неподвижную точку?

Обязательно ли отображение полного метрического пространства в себя, липшицево с константой Липшица 1, имеет неподвижную точку?

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство, а $T$ — отображение $X$ в себя, такое что

Покажите, что $T$ имеет единственную неподвижную точку.

Определим $f(x) = \pi / 2+x-\arctan x$ для всех вещественных чисел $x$. Покажите, что

Покажите, что $f$ не имеет неподвижной точки. Противоречит ли это предыдущей задаче?

В евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$ рассмотрим замкнутый единичный шар $B = \left\{ x \in \mathbb {R}^{n} \mid \left\| x\right\| \leq 1\right\}$. Пусть $f$ отображает $B$ в $B$ и липшицево с константой Липшица 1. Не используя теорему Брауэра о неподвижной точке, покажите, что $f$ имеет неподвижную точку.

Предположим, что отображение $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ является сжатием. Определим $g(x) = x-f(x)$ для всех $x$ из $\mathbb {R}^{n}$. Покажите, что отображение $g: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ инъективно и сюръективно. Также покажите, что $g$ и обратное к нему отображение непрерывны.

Пусть $X$ — полное метрическое пространство, содержащее точку $x_{0}$, и пусть $r$ — положительное вещественное число. Определим $K = \left\{ x \text{ из } X \mid \rho \left(x, x_{0}\right) \leq r\right\}$. Предположим, что отображение $T: K \rightarrow X$ липшицево с константой Липшица $c$. Предположим также, что $c r+\rho \left(T\left(x_{0}\right), x_{0}\right) \leq r$. Докажите, что $T(K) \subseteq K$ и что $T: K \rightarrow X$ имеет неподвижную точку.

Покажите, что если функция $g: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ имеет непрерывные частные производные первого порядка, то для каждой точки $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ в $\mathbb {R}^{2}$ существует окрестность $\mathcal{O}$ точки ($x_{0}, y_{0}$), на которой выполнено предположение Липшица (7).

В случае, когда функция $g: \mathcal{O} \rightarrow \mathbb {R}$ имеет вид $g(x, y) = h(x)+b y$, где функция $h: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, докажите, что следующее является явной формулой для решения (5):

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Покажите, что функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, тождественно равная 0, является решением, и что функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, определённая как $f(x) = 0$, если $x < 0$, и $f(x) = x^{3}$, если $x \geq 0$, также является решением. Противоречит ли это теореме существования Пикара?

Для положительного числа $\epsilon$ рассмотрим дифференциальное уравнение

Покажите, что на интервале $I = (-\epsilon (\pi / 2), \epsilon (\pi / 2))$ существует единственное решение этого дифференциального уравнения, задаваемое формулой $f(x) = \tan (x / \epsilon )$, и что не существует решения на интервале, строго содержащем $I$.

Пусть $I$ — открытый интервал в $\mathbb {R}$, и предположим, что функция $h: I \rightarrow \mathbb {R}$ обладает свойством: существуют точки $x_{1} < x_{2}$ в $I$ и число $c$, такие что $h\left(x_{1}\right) < c < h\left(x_{2}\right)$, но $c$ не принадлежит $h(I)$. Докажите, что решения дифференциального уравнения (5) не существует, рассуждая следующим образом: если $f: I \rightarrow \mathbb {R}$ — решение, то непрерывная функция $f(x)-c x$ не достигает минимального значения на интервале $\left[x_{1}, x_{2}\right]$.

Используя предыдущее упражнение, докажите, что если $I$ — открытый интервал в $\mathbb {R}$ и функция $f: I \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируема, то образ производной $f^{\prime }: I \rightarrow \mathbb {R}$ является интервалом.

Сформулируйте и докажите вариант теоремы существования Пикара для систем дифференциальных уравнений в следующем контексте: $\mathcal{O}$ — открытое подмножество $\mathbb {R} \times \mathbb {R}^{n}$, $\mathbf{g}: \mathcal{O} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ непрерывно, точка ($x_{0}, \mathbf{y}_{0}$) принадлежит $\mathcal{O}$, и система дифференциальных уравнений имеет вид