Теорема Бэра о категориях

Пусть $E$ — подмножество метрического пространства $X$. Покажите, что bd $E$ замкнуто. Также покажите, что если $E$ замкнуто, то внутренность $\operatorname {bd} E$ пуста.

В метрическом пространстве $X$ покажите, что подмножество $E$ нигде не плотно тогда и только тогда, когда для каждого открытого подмножества $\mathcal{O}$ пространства $X$ множество $E \cap \mathcal{O}$ не плотно в $\mathcal{O}$.

В полном метрическом пространстве $X$, является ли объединение счётного семейства нигде не плотных множеств также нигде не плотным?

Пусть $\mathcal{O}$ — открытое подмножество, а $F$ — замкнутое подмножество метрического пространства $X$. Покажите, что как $\overline{\mathcal{O}} \sim \mathcal{O}$, так и $F \sim \operatorname {int} F$ замкнуты и пусты внутри.

В полном метрическом пространстве, является ли объединение счётного семейства множеств первой категории также множеством первой категории?

Пусть $F_{n}$ — подмножество $C[0,1]$, состоящее из функций, для которых существует точка $x_{0}$ в $[0,1]$, такая что $\left|f(x)-f(x_{0})\right| \leq n\left|x-x_{0}\right|$ для всех $x \in [0,1]$. Покажите, что $F_{n}$ замкнуто. Покажите, что $F_{n}$ пусто внутри, заметив, что для $f \in C[0,1]$ и $r > 0$ существует кусочно-линейная функция $g \in C[0,1]$, для которой $\rho_{\max }(f, g) < r$, а левая и правая производные $g$ на $[0,1]$ превышают $n+1$. Заключите, что $C[0,1] \neq \bigcup_{n = 1}^{\infty } F_{n}$, и покажите, что каждая функция $h \in C[0,1] \sim \bigcup_{n = 1}^{\infty } F_{n}$ не дифференцируема ни в одной точке из (0,1).

Пусть $f$ — вещественнозначная функция на метрическом пространстве $X$. Покажите, что множество точек, в которых $f$ непрерывна, является пересечением счётного семейства открытых множеств. Заключите, что не существует вещественнозначной функции на $\mathbb {R}$, непрерывной в точности в рациональных точках.

Для каждого $n$ покажите, что в $[0,1]$ существует нигде не плотное замкнутое множество, имеющее меру Лебега $1-1 / n$. Используя это, постройте множество первой категории в $[0,1]$, имеющее меру 1.

Точка $x$ в метрическом пространстве $X$ называется изолированной, если одноточечное множество $\left\{ x\right\}$ открыто в $X$.

Пусть $E$ — подмножество полного метрического пространства $X$. Проверьте следующие утверждения.

Покажите, что при условиях теоремы 6 существует плотное открытое множество $\mathcal{O} \subseteq X$, такое что каждая точка $x \in \mathcal{O}$ имеет окрестность $U$, на которой $\mathcal{F}$ равномерно ограничено.

Теорема 6 (нелинейная теорема о равномерной ограниченности): Пусть $\mathcal{F}$ — семейство непрерывных вещественнозначных функций на полном метрическом пространстве $X$, поточечно ограниченное. Тогда существует шар в $X$, на котором $\mathcal{F}$ равномерно поточечно ограничено.

По неравенству Гёльдера $L^{2}[a, b] \subseteq L^{1}[a, b]$. Покажите, что множество $L^{2}[a, b]$, рассматриваемое как подмножество полного метрического пространства $L^{1}[a, b]$, является множеством первой категории.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$, обладающая свойством, что для каждого вещественного числа $x$, $\lim_{n \rightarrow \infty } f(n x) = 0$. Покажите, что $\lim_{x \rightarrow \infty } f(x) = 0$.

Пусть $f$ — непрерывная вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$, имеющая производные всех порядков. Предположим, что для каждого вещественного числа $x$ существует индекс $n = n(x)$, для которого $f^{(n)}(x) = 0$. Покажите, что $f$ — многочлен.