Пространства $L^{p}$: двойственность, слабая сходимость и минимизация

Для $1 \leq p \leq \infty$ определим $\Phi : L^{p}[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\Phi (f) = \int_{0}^{1} x f(x) d x$. Покажите, что $\Phi \in \left[L^{p}[0,1]\right]^{*}$, и определите $\left\| \Phi \right\|_{*}$.

Для $x_{0} \in [a, b]$ определим функционал $\Phi : C[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\Phi (f) = f\left(x_{0}\right)$ для $f \in C[a, b]$. Докажите, что $\Phi \in [C[a, b]]^{*}$, и определите $\left\| \Phi \right\|_{*}$.

Определим функционал $\Phi : C[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\Phi (f) = \int_{a}^{b} f(x) d x$ для $f \in C[a, b]$. Докажите, что $\Phi \in [C[a, b]]^{*}$, и определите $\left\| \Phi \right\|_{*}$.

Покажите, что линейный функционал $\Phi : X \rightarrow \mathbb {R}$ ограничен тогда и только тогда, когда существуют $r > 0$ и $x_{0} \in X$, такие что сужение $\Phi$ на $\left\{ x \in X \mid \left\| x-x_{0}\right\| \leq r\right\}$ ограничено.

Покажите, что последовательность $\left\{ \Phi_{n}\right\}$ в $X^{*}$ не является ограниченной тогда и только тогда, когда для каждого индекса $k$, $u \in X$ и $r > 0$ найдутся индекс $n_{k}$ и $v \in X$, такие что

Для $f \in L^{p}(E), 1 \leq p < \infty$, покажите, что $f = 0$, если $\Phi (f) = 0$ для всех $\Phi \in \left[L^{p}(E)\right]^{*}$.

Проверьте (7).

Пусть $\mathcal{S}$ — плотное подмножество $X$. Покажите, что если $\Phi \in X^{*}$, то $\left\| \Phi \right\|_{*} = \sup \left\{ \Phi (f) \mid f \in \mathcal{S},\left\| f\right\| \leq 1\right\}$.

Для $g \in L^{p}(E), 1 \leq p < \infty$, покажите, что $g = 0$, если $\int_{A} g d m = 0$ для всех $A \subseteq E$ с $m(A) < \infty$.

Для $g \in C[a, b]$ покажите, что $g = 0$, если $\int_{a}^{x} g(t) d t = 0$ для всех $x \in [a, b]$.

Приведите пример последовательности функционалов в $X^{*}$, сходящейся поточечно на $X$ к функционалу из $X^{*}$, но не сходящейся как последовательность в нормированном линейном пространстве $X^{*}$.

Докажите предложение 2.

Предложение 2: Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Тогда совокупность ограниченных линейных функционалов на $X$ является линейным пространством, а $\Phi \mapsto \left\| \Phi \right\|_{*}$ — нормой на этом пространстве. Это нормированное линейное пространство называется двойственным пространством к $X$ и обозначается $X^{*}$.

Докажите утверждение из доказательства следствия 6 относительно сходимости ряда $\sum_{j = 1}^{\infty }[f(j)]^{2}$.

Следствие 6: Каждая ограниченная последовательность $\left\{ s_{n}\right\}$ в пространстве $\ell^{2}$ имеет подпоследовательность, сходящуюся покомпонентно к элементу $\ell^{2}$. В доказательстве для каждого $n$ определяют $f_{n}: \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$, полагая $f_{n}(j)$ равным $j$-му члену $s_{n}$; ограниченность $\left\{ s_{n}\right\}$ в $\ell^{2}$ делает $\left\{ f_{n}\right\}$ поточечно ограниченной на $\mathbb {N}$, так что некоторая подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}\right\}$ сходится поточечно к некоторой $f: \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$, что даёт покомпонентную сходимость $\left\{ s_{n_{k}}\right\}$ к последовательности $s$, $j$-й член которой есть $f(j)$. Остаётся показать, что ограниченность $\left\{ s_{n}\right\}$ в $\ell^{2}$ влечёт сходимость $\sum_{j=1}^{\infty } [f(j)]^{2}$, так что $s \in \ell^{2}$ — это и есть утверждение, которое требуется доказать.

Распространите следствие 6 с $\ell^{2}$ на $\ell^{p}$ для $1 \leq p < \infty$.

Следствие 6: Каждая ограниченная последовательность $\left\{ s_{n}\right\}$ в пространстве $\ell^{2}$ имеет подпоследовательность, сходящуюся покомпонентно к элементу $\ell^{2}$.

Для $X$ — нормированного линейного пространства покажите, что его двойственное пространство $X^{*}$ является полным нормированным линейным пространством.

Общий функционал $F: X \rightarrow \mathbb {R}$ на нормированном линейном пространстве $X$ называется липшицевым, если существует $c \geq 0$, такое что $\left|F(u)-F(v)\right| \leq c\left\| u-v\right\|$ для всех $u, v \in X$. Точная нижняя грань таких $c$ называется липшицевой константой для $F$. Покажите, что линейный функционал $\Phi$ ограничен тогда и только тогда, когда он липшицев, причём в этом случае его липшицева константа равна $\left\| \Phi \right\|_{*}$.

Докажите, что общий функционал $F: X \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывен, если для любой быстро фундаментальной последовательности $\left\{ u_{n}\right\}$, сходящейся в $X$ к $u \in X$, выполнено $\left\{ F\left(x_{n}\right)\right\} \rightarrow F(u)$.

Пусть $\varphi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, и существует $c \geq 0$, для которого $\left|\varphi (s)\right| \leq c+c \cdot \left|s\right|^{2}$ для всех $s \in \mathbb {R}$. Определим $F(f) = \int_{E} \varphi \circ f d m$ для $f \in L^{2}[a, b]$. Покажите, что $F: L^{2}[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывен.

Определим функционал $F: L^{2}[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $F(f) = \int_{[a, b]} \varphi \circ f d m$ для $f \in L^{2}[a, b]$. Для следующих вариантов выбора $\varphi$ покажите, что $F$ непрерывен:

Установите теорему Рисса о представлении в случае $p = 1$, сначала показав, в обозначениях доказательства теоремы, что функция $\eta$ липшицева и, следовательно, абсолютно непрерывна. Затем следуйте доказательству для $p > 1$.

Для $1 \leq p < \infty$, отображая последовательность $\left\{ a_{k}\right\}$ в $\ell^{p}$ в измеримую функцию из $L^{p}[1, \infty )$, принимающую значение $a_{k}$ на каждом $[k, k+1)$, распространите неравенство Гёльдера на пространства $\ell^{p}$. Используйте это, чтобы сформулировать и доказать вариант леммы 9 для $\ell^{p}$. Лемма 9: Для $1 \leq p < \infty$ и $g \in L^{1}(E)$ предположим, что существует $M \geq 0$, для которого $\int_{E} \varphi \cdot g \, dm \leq M \cdot \left\| \varphi \right\|_{p}$ для каждой финитно поддерживаемой простой функции $\varphi$. Тогда $g \in L^{q}(E)$, где $q$ — сопряжённый показатель к $p$. Более того, $\left\| g\right\|_{q} \leq M$. Затем сформулируйте и докажите теорему о представлении для двойственного пространства к $\ell^{p}$, $1 \leq p < \infty$.

Покажите, что если бы каждый ограниченный линейный функционал на $L^{\infty }[a, b]$ представлялся функцией из $L^{1}[a, b]$, то двойственное пространство к $L^{\infty }[a, b]$ было бы сепарабельным.

Пусть $\Phi \in [C[a, b]]^{*}$. Для $x \in [a, b]$ определим $g_{x}:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $g(t) = a-t$ для $a \leq t \leq x$ и $g_{x}(t) = a-x$ для $x \leq t \leq b$. Определим $\eta (x) = \Phi \left(g_{x}\right)$. Покажите, что $\eta :[a, b] \mapsto \mathbb {R}$ липшицева.

Охарактеризуйте ограниченные линейные функционалы на евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$. Покажите, что для последовательности в $\mathbb {R}^{n}$ понятия сильной сходимости, слабой сходимости и покомпонентной сходимости совпадают.

Для $1 \leq p < \infty$ предположим, что и $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow h$, и $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow g$ слабо в $L^{p}(E)$. Покажите, что $g = h$.

Для $1 \leq p \leq \infty$ и $q$ — сопряжённого показателя к $p$, предположим, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ слабо в $L^{p}(E)$, а $\left\{ g_{n}\right\} \rightarrow g$ сильно в $L^{q}(E)$. Покажите, что

В каком месте доказательство теоремы 14 нарушается в случае $p = 1$, а также в случае $p = \infty$.

Теорема 14: Если $1 \leq p < \infty$, то каждая ограниченная последовательность в $L^{p}(E)$ имеет подпоследовательность, слабо сходящуюся к функции из $L^{p}(E)$.

Покажите, что если последовательность в $C[a, b]$ сходится слабо, то она сходится поточечно. Найдите ограниченную последовательность в $C[a, b]$, у которой нет ни одной слабо сходящейся подпоследовательности.

Проверьте утверждения, сделанные относительно сходимости функций Радемахера.

Если $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ слабо в $L^{\infty }[a, b]$, покажите, что

Зафиксируем действительные числа $\alpha$ и $\beta$. Для каждых натуральных чисел $k$ и $n$ рассмотрим ступенчатую функцию $f_{n}$, определённую на $I = [0,1]$ формулой

Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится слабо в $L^{2}(I)$ к постоянной функции, принимающей значение $(\alpha +\beta ) / 2$. При $\alpha \neq \beta$ покажите, что ни одна подпоследовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ не сходится сильно в $L^{2}(I)$.

Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ сильно в $L^{2}(E)$ тогда и только тогда, когда $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ слабо в $L^{2}(E)$ и $\left\{ \left\| f_{n}\right\|_{2}\right\} \rightarrow \left\| f\right\|_{2}$.

Используйте задачу 20, чтобы показать, что для $1 \leq p < \infty$ ограниченная последовательность в $\ell^{p}$ сходится слабо тогда и только тогда, когда она сходится покомпонентно.

Покажите, что если последовательность действительных чисел $\left\{ a_{n}\right\}$ сходится к $a \in \overline{\mathbb {R}}$, то её последовательность средних арифметических также сходится к $a$.

Если $\Phi \in X^{*}$, докажите, что

Для $1 < p < \infty$ определим $C = \left\{ f \in L^{p}(E) \mid \left\| f\right\|_{p} \leq 1\right\}$. Для $\Phi \in \left[L^{p}(E)\right]^{*}$ найдите функцию $f_{0} \in C$, в которой функционал $\Phi : C \rightarrow \mathbb {R}$ принимает минимальное значение.

Пусть $C = \left\{ f \in L^{1}[0,1] \mid \left\| f\right\|_{1} \leq 1\right\}$, и определим $\Phi : C \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\Phi (f) = \int_{0}^{1} x f(x) d x$. Покажите, что $C$ является замкнутым, ограниченным, выпуклым подмножеством $L^{1}[0,1]$, что $\Phi : C \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывен и выпукл, но не имеет минимального значения.

Пусть $C = \left\{ f \in C[0,1] \mid \left\| f\right\|_{\max } \leq 1\right\}$, и определим $\Phi : C \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\Phi (f) = \int_{0}^{1 / 2} f(x) d x- \int_{1 / 2}^{1} f(x) d x$. Покажите, что $C$ является замкнутым, ограниченным, выпуклым подмножеством $C[0,1]$, что $\Phi : C \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывен и выпукл, но не имеет минимального значения.

Сформулируйте и докажите теорему Банаха-Сакса в $\ell^{2}$.

Пусть $m(E) < \infty$ и $p_{1}, p_{2} \in [1, \infty )$. Предположим, что $\varphi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, и существуют $c_{1}, c_{2} \geq 0$, для которых $\left|\varphi (s)\right| \leq c_{1}+c_{2}\left|s\right|^{p_{1} / p_{2}}$ для всех $s$. Покажите, что

Пусть $C$ — подмножество нормированного линейного пространства $X$ со свойством, что каждая последовательность в $C$ имеет подпоследовательность, сильно сходящуюся к точке из $C$. Покажите, что $C$ является замкнутым и ограниченным подмножеством $X$.