Ограниченные линейные функционалы на нормированном линейном пространстве

Для $1 \leq p \leq \infty$ определим $\Phi : L^{p}[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\Phi (f) = \int_{0}^{1} x f(x) d x$. Покажите, что $\Phi \in \left[L^{p}[0,1]\right]^{*}$, и определите $\left\| \Phi \right\|_{*}$.

Для $x_{0} \in [a, b]$ определим функционал $\Phi : C[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\Phi (f) = f\left(x_{0}\right)$ для $f \in C[a, b]$. Докажите, что $\Phi \in [C[a, b]]^{*}$, и определите $\left\| \Phi \right\|_{*}$.

Определим функционал $\Phi : C[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\Phi (f) = \int_{a}^{b} f(x) d x$ для $f \in C[a, b]$. Докажите, что $\Phi \in [C[a, b]]^{*}$, и определите $\left\| \Phi \right\|_{*}$.

Покажите, что линейный функционал $\Phi : X \rightarrow \mathbb {R}$ ограничен тогда и только тогда, когда существуют $r > 0$ и $x_{0} \in X$, такие что сужение $\Phi$ на $\left\{ x \in X \mid \left\| x-x_{0}\right\| \leq r\right\}$ ограничено.

Покажите, что последовательность $\left\{ \Phi_{n}\right\}$ в $X^{*}$ не является ограниченной тогда и только тогда, когда для каждого индекса $k$, $u \in X$ и $r > 0$ найдутся индекс $n_{k}$ и $v \in X$, такие что

Для $f \in L^{p}(E), 1 \leq p < \infty$, покажите, что $f = 0$, если $\Phi (f) = 0$ для всех $\Phi \in \left[L^{p}(E)\right]^{*}$.

Проверьте (7).

Пусть $\mathcal{S}$ — плотное подмножество $X$. Покажите, что если $\Phi \in X^{*}$, то $\left\| \Phi \right\|_{*} = \sup \left\{ \Phi (f) \mid f \in \mathcal{S},\left\| f\right\| \leq 1\right\}$.

Для $g \in L^{p}(E), 1 \leq p < \infty$, покажите, что $g = 0$, если $\int_{A} g d m = 0$ для всех $A \subseteq E$ с $m(A) < \infty$.

Для $g \in C[a, b]$ покажите, что $g = 0$, если $\int_{a}^{x} g(t) d t = 0$ для всех $x \in [a, b]$.

Приведите пример последовательности функционалов в $X^{*}$, сходящейся поточечно на $X$ к функционалу из $X^{*}$, но не сходящейся как последовательность в нормированном линейном пространстве $X^{*}$.

Докажите предложение 2.

Предложение 2: Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Тогда совокупность ограниченных линейных функционалов на $X$ является линейным пространством, а $\Phi \mapsto \left\| \Phi \right\|_{*}$ — нормой на этом пространстве. Это нормированное линейное пространство называется двойственным пространством к $X$ и обозначается $X^{*}$.

Докажите утверждение из доказательства следствия 6 относительно сходимости ряда $\sum_{j = 1}^{\infty }[f(j)]^{2}$.

Следствие 6: Каждая ограниченная последовательность $\left\{ s_{n}\right\}$ в пространстве $\ell^{2}$ имеет подпоследовательность, сходящуюся покомпонентно к элементу $\ell^{2}$. В доказательстве для каждого $n$ определяют $f_{n}: \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$, полагая $f_{n}(j)$ равным $j$-му члену $s_{n}$; ограниченность $\left\{ s_{n}\right\}$ в $\ell^{2}$ делает $\left\{ f_{n}\right\}$ поточечно ограниченной на $\mathbb {N}$, так что некоторая подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}\right\}$ сходится поточечно к некоторой $f: \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$, что даёт покомпонентную сходимость $\left\{ s_{n_{k}}\right\}$ к последовательности $s$, $j$-й член которой есть $f(j)$. Остаётся показать, что ограниченность $\left\{ s_{n}\right\}$ в $\ell^{2}$ влечёт сходимость $\sum_{j=1}^{\infty } [f(j)]^{2}$, так что $s \in \ell^{2}$ — это и есть утверждение, которое требуется доказать.

Распространите следствие 6 с $\ell^{2}$ на $\ell^{p}$ для $1 \leq p < \infty$.

Следствие 6: Каждая ограниченная последовательность $\left\{ s_{n}\right\}$ в пространстве $\ell^{2}$ имеет подпоследовательность, сходящуюся покомпонентно к элементу $\ell^{2}$.

Для $X$ — нормированного линейного пространства покажите, что его двойственное пространство $X^{*}$ является полным нормированным линейным пространством.

Общий функционал $F: X \rightarrow \mathbb {R}$ на нормированном линейном пространстве $X$ называется липшицевым, если существует $c \geq 0$, такое что $\left|F(u)-F(v)\right| \leq c\left\| u-v\right\|$ для всех $u, v \in X$. Точная нижняя грань таких $c$ называется липшицевой константой для $F$. Покажите, что линейный функционал $\Phi$ ограничен тогда и только тогда, когда он липшицев, причём в этом случае его липшицева константа равна $\left\| \Phi \right\|_{*}$.

Докажите, что общий функционал $F: X \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывен, если для любой быстро фундаментальной последовательности $\left\{ u_{n}\right\}$, сходящейся в $X$ к $u \in X$, выполнено $\left\{ F\left(x_{n}\right)\right\} \rightarrow F(u)$.

Пусть $\varphi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, и существует $c \geq 0$, для которого $\left|\varphi (s)\right| \leq c+c \cdot \left|s\right|^{2}$ для всех $s \in \mathbb {R}$. Определим $F(f) = \int_{E} \varphi \circ f d m$ для $f \in L^{2}[a, b]$. Покажите, что $F: L^{2}[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывен.

Определим функционал $F: L^{2}[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $F(f) = \int_{[a, b]} \varphi \circ f d m$ для $f \in L^{2}[a, b]$. Для следующих вариантов выбора $\varphi$ покажите, что $F$ непрерывен: