Минимизация выпуклых функционалов

Покажите, что если последовательность действительных чисел $\left\{ a_{n}\right\}$ сходится к $a \in \overline{\mathbb {R}}$, то её последовательность средних арифметических также сходится к $a$.

Если $\Phi \in X^{*}$, докажите, что

Для $1 < p < \infty$ определим $C = \left\{ f \in L^{p}(E) \mid \left\| f\right\|_{p} \leq 1\right\}$. Для $\Phi \in \left[L^{p}(E)\right]^{*}$ найдите функцию $f_{0} \in C$, в которой функционал $\Phi : C \rightarrow \mathbb {R}$ принимает минимальное значение.

Пусть $C = \left\{ f \in L^{1}[0,1] \mid \left\| f\right\|_{1} \leq 1\right\}$, и определим $\Phi : C \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\Phi (f) = \int_{0}^{1} x f(x) d x$. Покажите, что $C$ является замкнутым, ограниченным, выпуклым подмножеством $L^{1}[0,1]$, что $\Phi : C \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывен и выпукл, но не имеет минимального значения.

Пусть $C = \left\{ f \in C[0,1] \mid \left\| f\right\|_{\max } \leq 1\right\}$, и определим $\Phi : C \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $\Phi (f) = \int_{0}^{1 / 2} f(x) d x- \int_{1 / 2}^{1} f(x) d x$. Покажите, что $C$ является замкнутым, ограниченным, выпуклым подмножеством $C[0,1]$, что $\Phi : C \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывен и выпукл, но не имеет минимального значения.

Сформулируйте и докажите теорему Банаха-Сакса в $\ell^{2}$.

Пусть $m(E) < \infty$ и $p_{1}, p_{2} \in [1, \infty )$. Предположим, что $\varphi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, и существуют $c_{1}, c_{2} \geq 0$, для которых $\left|\varphi (s)\right| \leq c_{1}+c_{2}\left|s\right|^{p_{1} / p_{2}}$ для всех $s$. Покажите, что

Пусть $C$ — подмножество нормированного линейного пространства $X$ со свойством, что каждая последовательность в $C$ имеет подпоследовательность, сильно сходящуюся к точке из $C$. Покажите, что $C$ является замкнутым и ограниченным подмножеством $X$.