Слабая последовательная сходимость в $L^{p}$

Охарактеризуйте ограниченные линейные функционалы на евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$. Покажите, что для последовательности в $\mathbb {R}^{n}$ понятия сильной сходимости, слабой сходимости и покомпонентной сходимости совпадают.

Для $1 \leq p < \infty$ предположим, что и $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow h$, и $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow g$ слабо в $L^{p}(E)$. Покажите, что $g = h$.

Для $1 \leq p \leq \infty$ и $q$ — сопряжённого показателя к $p$, предположим, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ слабо в $L^{p}(E)$, а $\left\{ g_{n}\right\} \rightarrow g$ сильно в $L^{q}(E)$. Покажите, что

В каком месте доказательство теоремы 14 нарушается в случае $p = 1$, а также в случае $p = \infty$.

Теорема 14: Если $1 \leq p < \infty$, то каждая ограниченная последовательность в $L^{p}(E)$ имеет подпоследовательность, слабо сходящуюся к функции из $L^{p}(E)$.

Покажите, что если последовательность в $C[a, b]$ сходится слабо, то она сходится поточечно. Найдите ограниченную последовательность в $C[a, b]$, у которой нет ни одной слабо сходящейся подпоследовательности.

Проверьте утверждения, сделанные относительно сходимости функций Радемахера.

Если $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ слабо в $L^{\infty }[a, b]$, покажите, что

Зафиксируем действительные числа $\alpha$ и $\beta$. Для каждых натуральных чисел $k$ и $n$ рассмотрим ступенчатую функцию $f_{n}$, определённую на $I = [0,1]$ формулой

Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится слабо в $L^{2}(I)$ к постоянной функции, принимающей значение $(\alpha +\beta ) / 2$. При $\alpha \neq \beta$ покажите, что ни одна подпоследовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ не сходится сильно в $L^{2}(I)$.

Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ сильно в $L^{2}(E)$ тогда и только тогда, когда $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ слабо в $L^{2}(E)$ и $\left\{ \left\| f_{n}\right\|_{2}\right\} \rightarrow \left\| f\right\|_{2}$.

Используйте задачу 20, чтобы показать, что для $1 \leq p < \infty$ ограниченная последовательность в $\ell^{p}$ сходится слабо тогда и только тогда, когда она сходится покомпонентно.