Теорема Рисса о представлении для сопряжённого к $L^{p}$, $1 \leq p < \infty$

Установите теорему Рисса о представлении в случае $p = 1$, сначала показав, в обозначениях доказательства теоремы, что функция $\eta$ липшицева и, следовательно, абсолютно непрерывна. Затем следуйте доказательству для $p > 1$.

Для $1 \leq p < \infty$, отображая последовательность $\left\{ a_{k}\right\}$ в $\ell^{p}$ в измеримую функцию из $L^{p}[1, \infty )$, принимающую значение $a_{k}$ на каждом $[k, k+1)$, распространите неравенство Гёльдера на пространства $\ell^{p}$. Используйте это, чтобы сформулировать и доказать вариант леммы 9 для $\ell^{p}$. Лемма 9: Для $1 \leq p < \infty$ и $g \in L^{1}(E)$ предположим, что существует $M \geq 0$, для которого $\int_{E} \varphi \cdot g \, dm \leq M \cdot \left\| \varphi \right\|_{p}$ для каждой финитно поддерживаемой простой функции $\varphi$. Тогда $g \in L^{q}(E)$, где $q$ — сопряжённый показатель к $p$. Более того, $\left\| g\right\|_{q} \leq M$. Затем сформулируйте и докажите теорему о представлении для двойственного пространства к $\ell^{p}$, $1 \leq p < \infty$.

Покажите, что если бы каждый ограниченный линейный функционал на $L^{\infty }[a, b]$ представлялся функцией из $L^{1}[a, b]$, то двойственное пространство к $L^{\infty }[a, b]$ было бы сепарабельным.

Пусть $\Phi \in [C[a, b]]^{*}$. Для $x \in [a, b]$ определим $g_{x}:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $g(t) = a-t$ для $a \leq t \leq x$ и $g_{x}(t) = a-x$ для $x \leq t \leq b$. Определим $\eta (x) = \Phi \left(g_{x}\right)$. Покажите, что $\eta :[a, b] \mapsto \mathbb {R}$ липшицева.