Интегрирование по Лебегу

Покажите, что в приведённом выше примере с функцией Дирихле $\left\{ f_{n}\right\}$ не сходится к $f$ равномерно на $[0,1]$.

Разбиение $P^{\prime }$ отрезка $[a, b]$ называется измельчением разбиения $P$, если каждая точка разбиения $P$ также является точкой разбиения $P^{\prime }$. Для ограниченной функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ покажите, что при измельчении нижние суммы Дарбу не убывают, а верхние суммы Дарбу не возрастают.

Покажите, что для ограниченной функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ левая часть (1) не превосходит правую часть.

Предположим, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена. Покажите, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left\{ P_{n}\right\}$ разбиений $[a, b]$, где каждое $P_{n+1}$ является измельчением $P_{n}$, для которой $\lim_{n \rightarrow \infty }\left[U\left(f, P_{n}\right)-L\left(f, P_{n}\right)\right] = 0$.

Используя предыдущую задачу, покажите, что непрерывная функция $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, будучи равномерно непрерывной, интегрируема по Риману.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает. Для натурального числа $n$ определим $P_{n}$ как разбиение $[0,1]$ на $n$ подынтервалов длины $1 / n$. Покажите, что $U\left(f, P_{n}\right)-L\left(f, P_{n}\right) \leq 1 / n[f(1)-f(0)]$. Используя задачу 4, покажите, что $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Риману.

Пусть $\left\{ f_{n}:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — равномерно ограниченная последовательность интегрируемых по Риману функций, равномерно сходящаяся к $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$. Покажите, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ также интегрируема по Риману, и

Предположим, что $m(E) < \infty$, и пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — последовательность ограниченных измеримых функций. Не ссылаясь на теорему об ограниченной сходимости или теорему Егорова, дайте прямое доказательство того, что если $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ равномерно на $E$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{E} f_{n} d m = \int_{E} f d m$.

Пусть $m(E) < \infty$ и $\left\{ E_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — измеримое разбиение $E$. Используя только линейность интегрирования и теорему об ограниченной сходимости, покажите, что $m(E) = \sum_{n = 1}^{\infty } m\left(E_{n}\right)$.

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена, имеет конечный носитель и измерима. Для измеримого подмножества $A$ множества $E$ покажите, что $\left.\int_{A} f\right|_{A} d m = \int_{E} f \cdot \chi_{A} d m$.

Верна ли теорема об ограниченной сходимости для интеграла Римана?

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ и $g: E \rightarrow \mathbb {R}$ ограничены, имеют конечный носитель и измеримы, и предположим, что $f = g$ почти всюду на $E$. Покажите, что $\int_{E} f d m = \int_{E} g d m$.

Докажите Теорему 2.

Теорема 2: Если $f: \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная, интегрируемая по Риману функция, то она интегрируема по Лебегу, и оба интеграла равны.

Пусть $\left\{ E_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — измеримое разбиение $E$. Используя только теорему о монотонной сходимости и линейность интегрирования, покажите, что $m(E) = \sum_{n = 1}^{\infty } m\left(E_{n}\right)$.

Если $f:[a, b] \rightarrow [0, \infty ]$ измерима, покажите, что $\int_{[a, b]} f d m = \int_{(a, b)} f d m$.

Пусть $\left\{ u_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность измеримых функций. Определим $s = \sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}$. Покажите, что $\int_{E} s d m = \sum_{n = 1}^{\infty } \int_{E} u_{n} d m$.

Если $f:[a, b] \rightarrow [0, \infty ]$ измерима, покажите, что $\int_{[a, b]} f d m = 0$ тогда и только тогда, когда $f = 0$ почти всюду

Докажите линейность интегрирования для общих коэффициентов $\alpha$ и $\beta$.

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел. Определим функцию $f$ на $E = [1, \infty )$, положив $f(x) = a_{n}$, если $n \leq x < n+1$. Покажите, что $\int_{E} f d m = \sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$.

Пусть $f: E \rightarrow [0, \infty ]$ измерима. Покажите, что

где верхняя грань берётся по простым функциям с конечным носителем.

Пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность измеримых функций, поточечно сходящаяся на $E$ к $f$. Предположим, что $f_{n} \leq f$ на $E$ для каждого $n$. Покажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{E} f_{n} d m = \int_{E} f d m$.

Покажите, что теорема о монотонной сходимости не выполняется для убывающих последовательностей функций.

Докажите следующее обобщение леммы Фату: если $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность измеримых функций, то $\int_{E}\left[\liminf f_{n}\right] d m \leq \liminf \int_{E} f_{n} d m$.

Докажите линейность интегрирования для общих коэффициентов $\alpha$ и $\beta$.

Приведите пример функции $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, которая не интегрируема, в то время как $\left|f\right|:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема.

Приведите пример интегрируемой функции $f:[0,1] \rightarrow [0, \infty ]$, для которой $f^{2} f r m[o]--:[0,1] \rightarrow [0, \infty ]$ не интегрируема.

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ и $g: E \rightarrow \mathbb {R}$ измеримы, а $f^{2}: E \rightarrow \mathbb {R}$ и $g^{2}: E \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируемы. Покажите, что $f \cdot g: E \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема.

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема, а $g: E \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена и измерима. Покажите, что $f \cdot g: E \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема.

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема, а $C$ — измеримое подмножество $E$. Покажите, что ограничение $f$ на $C$ интегрируемо и $\left.\int_{C} f\right|_{C} d m = \int_{E} f \cdot \chi_{C} d m$.

Для измеримой функции $f:[1, \infty ) \rightarrow \mathbb {R}$, ограниченной на ограниченных множествах, для каждого $n$ определим $a_{n} = \int_{[n, n+1)} f$. Верно ли, что $f$ интегрируема тогда и только тогда, когда ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ сходится? Верно ли, что $f$ интегрируема тогда и только тогда, когда ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ сходится абсолютно?

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема. Покажите, что существует последовательность $\left\{ \psi_{n}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ простых функций с конечным носителем, поточечно сходящаяся к $f$, для которой

Докажите общую теорему о мажорируемой сходимости, следуя доказательству теоремы о мажорируемой сходимости, но заменив последовательности $\left\{ g-f_{n}\right\}$ и $\left\{ g+f_{n}\right\}$ соответственно на $\left\{ g_{n}-f_{n}\right\}$ и $\left\{ g_{n}+f_{n}\right\}$.

Пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — последовательность интегрируемых функций, для которой $f_{n} \rightarrow f$ поточечно на $E$, а $f$ интегрируема на $E$. Покажите, что $\int_{E}\left|f-f_{n}\right| d m \rightarrow 0$ тогда и только тогда, когда $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{E}\left|f_{n}\right| d m = \int_{E}\left|f\right| d m$.

Пусть $f$ — вещественнозначная функция двух переменных $(x, y)$, определённая на квадрате $Q = \left\{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\right\}$ и являющаяся измеримой функцией от $x$ при каждом фиксированном значении $y$. Предположим, что при каждом фиксированном значении $x$ выполняется $\lim_{y \rightarrow 0} f(x, y) = f(x)$ и что для всех $y$ выполняется $\left|f(x, y)\right| \leq g(x)$, где $g$ интегрируема на $[0,1]$. Покажите, что

Покажите также, что если функция $f(x, y)$ непрерывна по $y$ при каждом $x$, то

является непрерывной функцией от $y$.

Пусть $f$ — вещественнозначная функция двух переменных ($x, y$), определённая на квадрате $Q = \left\{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\right\}$ и являющаяся измеримой функцией от $x$ при каждом фиксированном значении $y$. Для каждого $(x, y) \in Q$ пусть существует частная производная $\partial f / \partial y$. Предположим, что существует функция $g$, интегрируемая на $[0,1]$ и такая, что

Докажите, что

Докажите теорему о непрерывности интегрирования.

Пусть $f:[0, \infty ] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема. Покажите, что

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема. Покажите, что функция $F: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, определённая равенством

корректно определена и непрерывна. Является ли она липшицевой?

Для каждой из двух функций $f$ на $[1, \infty )$, определённых ниже, покажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{[1, n]} f d m$ существует, в то время как $f$ не интегрируема на $[1, \infty )$. Противоречит ли это непрерывности интегрирования?

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема. Покажите, что следующие четыре утверждения эквивалентны:

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема и $\epsilon > 0$. Установите следующие приближения.