Интеграл ограниченной измеримой функции с конечным носителем

Предположим, что $m(E) < \infty$, и пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — последовательность ограниченных измеримых функций. Не ссылаясь на теорему об ограниченной сходимости или теорему Егорова, дайте прямое доказательство того, что если $\left\{ f_{n}\right\} \rightarrow f$ равномерно на $E$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{E} f_{n} d m = \int_{E} f d m$.

Пусть $m(E) < \infty$ и $\left\{ E_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — измеримое разбиение $E$. Используя только линейность интегрирования и теорему об ограниченной сходимости, покажите, что $m(E) = \sum_{n = 1}^{\infty } m\left(E_{n}\right)$.

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена, имеет конечный носитель и измерима. Для измеримого подмножества $A$ множества $E$ покажите, что $\left.\int_{A} f\right|_{A} d m = \int_{E} f \cdot \chi_{A} d m$.

Верна ли теорема об ограниченной сходимости для интеграла Римана?

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb {R}$ и $g: E \rightarrow \mathbb {R}$ ограничены, имеют конечный носитель и измеримы, и предположим, что $f = g$ почти всюду на $E$. Покажите, что $\int_{E} f d m = \int_{E} g d m$.

Докажите Теорему 2.

Теорема 2: Если $f: \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная, интегрируемая по Риману функция, то она интегрируема по Лебегу, и оба интеграла равны.