Интеграл неотрицательной измеримой функции

Пусть $\left\{ E_{n}\right\}_{n = 1}^{\infty }$ — измеримое разбиение $E$. Используя только теорему о монотонной сходимости и линейность интегрирования, покажите, что $m(E) = \sum_{n = 1}^{\infty } m\left(E_{n}\right)$.

Если $f:[a, b] \rightarrow [0, \infty ]$ измерима, покажите, что $\int_{[a, b]} f d m = \int_{(a, b)} f d m$.

Пусть $\left\{ u_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность измеримых функций. Определим $s = \sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}$. Покажите, что $\int_{E} s d m = \sum_{n = 1}^{\infty } \int_{E} u_{n} d m$.

Если $f:[a, b] \rightarrow [0, \infty ]$ измерима, покажите, что $\int_{[a, b]} f d m = 0$ тогда и только тогда, когда $f = 0$ почти всюду

Докажите линейность интегрирования для общих коэффициентов $\alpha$ и $\beta$.

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел. Определим функцию $f$ на $E = [1, \infty )$, положив $f(x) = a_{n}$, если $n \leq x < n+1$. Покажите, что $\int_{E} f d m = \sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$.

Пусть $f: E \rightarrow [0, \infty ]$ измерима. Покажите, что

где верхняя грань берётся по простым функциям с конечным носителем.

Пусть $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность измеримых функций, поточечно сходящаяся на $E$ к $f$. Предположим, что $f_{n} \leq f$ на $E$ для каждого $n$. Покажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{E} f_{n} d m = \int_{E} f d m$.

Покажите, что теорема о монотонной сходимости не выполняется для убывающих последовательностей функций.

Докажите следующее обобщение леммы Фату: если $\left\{ f_{n}: E \rightarrow [0, \infty ]\right\}$ — последовательность измеримых функций, то $\int_{E}\left[\liminf f_{n}\right] d m \leq \liminf \int_{E} f_{n} d m$.