Замечания об интеграле Римана

Покажите, что в приведённом выше примере с функцией Дирихле $\left\{ f_{n}\right\}$ не сходится к $f$ равномерно на $[0,1]$.

Разбиение $P^{\prime }$ отрезка $[a, b]$ называется измельчением разбиения $P$, если каждая точка разбиения $P$ также является точкой разбиения $P^{\prime }$. Для ограниченной функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ покажите, что при измельчении нижние суммы Дарбу не убывают, а верхние суммы Дарбу не возрастают.

Покажите, что для ограниченной функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ левая часть (1) не превосходит правую часть.

Предположим, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена. Покажите, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left\{ P_{n}\right\}$ разбиений $[a, b]$, где каждое $P_{n+1}$ является измельчением $P_{n}$, для которой $\lim_{n \rightarrow \infty }\left[U\left(f, P_{n}\right)-L\left(f, P_{n}\right)\right] = 0$.

Используя предыдущую задачу, покажите, что непрерывная функция $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, будучи равномерно непрерывной, интегрируема по Риману.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает. Для натурального числа $n$ определим $P_{n}$ как разбиение $[0,1]$ на $n$ подынтервалов длины $1 / n$. Покажите, что $U\left(f, P_{n}\right)-L\left(f, P_{n}\right) \leq 1 / n[f(1)-f(0)]$. Используя задачу 4, покажите, что $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема по Риману.

Пусть $\left\{ f_{n}:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}\right\}$ — равномерно ограниченная последовательность интегрируемых по Риману функций, равномерно сходящаяся к $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$. Покажите, что $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ также интегрируема по Риману, и