Банк задач по математике

Задача 4.37

Докажите теорему о непрерывности интегрирования.

?

Задача 4.38

Пусть $f:[0, \infty ] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема. Покажите, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{1 / n}^{n} f d m = \int _{0}^{\infty } f d m

?

Задача 4.39

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема. Покажите, что функция $F: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ , определённая равенством

F(x) = \int _{-\infty }^{x} f d m \text{ для всех } x \in \mathbb {R}

корректно определена и непрерывна. Является ли она липшицевой?

?

Задача 4.40

(i)(ii)

Для каждой из двух функций $f$ на $[1, \infty )$ , определённых ниже, покажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{[1, n]} f d m$ существует, в то время как $f$ не интегрируема на $[1, \infty )$ . Противоречит ли это непрерывности интегрирования?

?

(i)

Определим $f(x) = (-1)^{k} / k$ при $k \leq x < k+1$ .

(ii)

Определим $f(x) = (\sin x) / x$ при $1 \leq x < \infty$ .

Задача 4.41

(i)(ii)(iii)(iv)

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема. Покажите, что следующие четыре утверждения эквивалентны:

?

(i)

$f = 0$ почти всюду на $\mathbb {R}$ .

(ii)

$\int_{\mathbb {R}} f g d m = 0$ для каждой ограниченной измеримой функции $g$ с конечным носителем.

(iii)

$\int_{A} f d m = 0$ для каждого измеримого множества $A$ .

(iv)

$\int_{\mathcal{O}} f d m = 0$ для каждого открытого множества $\mathcal{O}$ .

Задача 4.42

(i)(ii)(iii)

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема и $\epsilon > 0$ . Установите следующие приближения.

?

(i)

Существует простая функция $\eta :[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ , для которой $\int_{[a, b]}\left|f-\eta \right| d m < \epsilon$ .

(ii)

Существует ступенчатая функция $s:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ , для которой $\int_{[a, b]}\left|f-s\right| d m < \epsilon$ .

(iii)

Существует непрерывная функция $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ , для которой $\int_{[a, b]}\left|f-g\right| d m < \epsilon$ .

Счётная аддитивность и непрерывность интегрирования