Часть 7

Определители и квадратичные формы

[84/92%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

7.1 · Вычисление определителей. Решение линейных уравнений[20/95%]

Задача 7.1

Перенумеруем $n$ вершин многогранника в некотором определенном порядке и зададим затем определитель $n$ -го порядка $\left|a_{\lambda \mu }\right|$ следующими условиями:

Если $\lambda$ -я и $\mu$ -я вершины многогранника представляют собой концы одного и того же ребра, то $a_{\lambda \mu }=a_{\mu \lambda }=1$ .

Если же отрезок, соединяющий $\lambda$ -ю и $\mu$ -ю вершины, не является ребром многогранника, то $a_{\lambda \mu }=0$ . В частности, $a_{\lambda \lambda }=0$ для всех $\lambda$ .

Показать, что значение этого определителя не зависит от порядка нумерации вершин. Составить и вычислить указанные определители для тетраэдра, гексаэдра (т. е. куба) и октаэдра.

Задача 7.1.1

(Продолжение.) Если в каждой вершине сходится ровно $p$ ребер, то определитель делится на $p$ .

Задача 7.1.1

(Продолжение.) Если в каждой вершине сходится ровно $p$ ребер, то определитель делится на $p$ .

Задача 7.2

Вычислить

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ b_{1} & a_{1} & a_{1} & \ldots & a_{1} \\ b_{1} & b_{2} & a_{2} & \ldots & a_{2} \\ \hdotsfor {5} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & \ldots & a_{n} \end{vmatrix} .

Задача 7.3

Доказать тождество

\left|\frac{1}{a_{\lambda }+b_{\mu }}\right|_{1}^{n}=\frac{\prod _{j>k}^{1,2, \ldots , n}\left(a_{j}-a_{k}\right)\left(b_{j}-b_{k}\right)}{\prod _{\lambda , \mu }^{1,2, \ldots , n}\left(a_{\lambda }+b_{\mu }\right)} .

Примечание.

Cauchy, Exercices d'analyse et de phys. math., т. 2, 2-е изд., стр. 151--159, Paris, Bachelier, 1841.

Задача 7.4

Обозначим определитель квадратичной формы

\sum _{\lambda =1}^{n} \sum _{\mu =1}^{n} \frac{x_{\lambda } x_{\mu }}{\lambda +\mu }

через $D_{n}$ . Показать, что

D_{n}=\frac{[1! 2! \ldots (n-1)!]^{3} n!}{(n+1)!(n+2)! \ldots (2 n)!} .

Вычислить, кроме того, определитель $D_{n}(\alpha )$ квадратичной формы

\sum _{\lambda =1}^{n} \sum _{\mu =1}^{n} \frac{x_{\lambda } x_{\mu }}{\lambda +\mu +\alpha } \quad (\alpha >-2) .

Задача 7.5

\left|\left(a_{\lambda }-b_{\mu }\right)^{n-1}\right|_{1}^{n}=\prod _{\nu =1}^{n-1}(n-\nu )^{n-2 \nu } \prod _{j>k}^{1,2, \ldots , n}\left(a_{j}-a_{k}\right)\left(b_{j}-b_{k}\right) .

Задача 7.6

Посредством преобразования определителя $\left|F\left(\alpha_{\lambda } \beta_{\mu }\right)\right|$ свести доказательство теоремы V 86 к теореме V 48.

Задача 7.7

Пусть $f(x)=\left(r_{1}-x\right)\left(r_{2}-x\right) \ldots \left(r_{n}-x\right)$ . Показать, что

\begin{vmatrix} r_{1} & a & a & \ldots & a \\ b & r_{2} & a & \ldots & a \\ b & b & r_{3} & \ldots & a \\ \hdotsfor {5} \\ b & b & b & \ldots & r_{n} \end{vmatrix}=\frac{a f(b)-b f(a)}{a-b} .

Задача 7.8

Положим $\Delta =a d-b c$ . Тогда

\frac{\partial (a \Delta , b \Delta , c \Delta , d \Delta )}{\partial (a, b, c, d)}=3 \Delta ^{4},

где стоящее слева выражение означает функциональный определитель Якоби.

Задача 7.9

Доказать, что выражение

\begin{vmatrix} \rho & \frac{l}{m}+\frac{m}{l} & \frac{n}{l}+\frac{l}{n} \\ \frac{l}{m}+\frac{m}{l} & \rho & \frac{m}{n}+\frac{n}{m} \\ \frac{n}{l}+\frac{l}{n} & \frac{m}{n}+\frac{n}{m} & \rho \end{vmatrix}, \quad l \neq 0, \quad m \neq 0, \quad n \neq 0

делится на $\rho -2$ . Определить остальные множители.

Примечание.

Задача, Collège d'Aberystwyth; Mathesis (2), т. 3, стр. 79, 1893. Решение — Retali и др., там же, стр. 172.

Задача 7.10

Определитель

\left|1, x_{\nu }, x_{\nu }^{2}, \ldots , x_{\nu }^{n-q-1}, \quad x_{\nu }^{n-q+1}, \ldots , x_{\nu }^{n-1}, \quad x_{\nu }^{n}\right| \quad (\nu =1,2, \ldots , n)

как знакопеременная целая рациональная функция $n$ чисел $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ делится во всяком случае на произведение

\prod _{j>k}^{1,2, \ldots , n}\left(x_{j}-x_{k}\right) .

Показать, что частное от деления определителя на это произведение равно $q$ -й элементарной симметричной функции $n$ чисел $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ .

Задача 7.11

Пусть числа $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ все отличны от нуля. Показать, что при любом $z$ имеет место тождество

a_{0} \begin{vmatrix} z+\frac{a_{1}}{a_{0}} & \frac{a_{2}}{a_{1}} & \frac{a_{3}}{a_{2}} & \ldots & \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} & \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \\ -\frac{a_{1}}{a_{0}} & z & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{a_{2}}{a_{1}} & z & \ldots & 0 & 0 \\ \hdotsfor {6} \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} & z \end{vmatrix}=a_{0} z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots +a_{n} .

Задача 7.11.1

Пусть $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots$ — постоянные, $z$ — переменная. Предположим, что $a_{0} \neq 0$ и что тождественно

(a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \cdots )(b_{0} + b_{1} z + b_{2} z^{2} + \cdots ) = 1.

Тогда

a_{0}^{n+1} b_{n} = (-1)^{n} \begin{vmatrix} a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & \ldots & 0 \\ a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & \ldots & 0 \\ \multicolumn {6}{c}{\dotfill } \\ a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \ldots & a_{1} \end{vmatrix}.

(Это дает способ вычисления ряда, обратного данному степенному ряду. Предполагаемое тождество может быть чисто формальным; никаких соображений о сходимости здесь не требуется.)

Задача 7.11.1

(a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \cdots )(b_{0} + b_{1} z + b_{2} z^{2} + \cdots ) = 1.

Тогда

a_{0}^{n+1} b_{n} = (-1)^{n} \begin{vmatrix} a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & \ldots & 0 \\ a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & \ldots & 0 \\ \multicolumn {6}{c}{\dotfill } \\ a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \ldots & a_{1} \end{vmatrix}.

Задача 7.11.2

Вычислить коэффициент при $z^{n}$ в разложении $[(1+z)^{a} - xz]^{-1}$ сначала по задаче 11.1, а затем непосредственно.

Задача 7.11.2

Вычислить коэффициент при $z^{n}$ в разложении $[(1+z)^{a} - xz]^{-1}$ сначала по задаче 11.1, а затем непосредственно.

Задача 7.11.3

Аналогично задаче 11.2 вычислить коэффициент при $z^{n}$ в разложении $[e^{z} - xz]^{-1}$ .

Задача 7.11.3

Аналогично задаче 11.2 вычислить коэффициент при $z^{n}$ в разложении $[e^{z} - xz]^{-1}$ .

Задача 7.12

Система уравнений

\begin{aligned} -a_{3} x_{2}+a_{2} x_{3} & =b_{1}, \\ a_{3} x_{1}-a_{1} x_{3} & =b_{2}, \\ -a_{2} x_{1}+a_{1} x_{2} & =b_{3}, \\ a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3} & =c, \end{aligned}

где $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, c$ — вещественные числа, совместна в двух различных случаях. При этом в одном случае неизвестные $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ совершенно неопределенны, во втором должны иметь совершенно определенные значения.

Задача 7.13

Пусть целая функция

1+c_{1} z+c_{2} z^{2}+c_{3} z^{3}+\ldots

имеет лишь различные между собой нули $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ ,

0<\left|a_{1}\right|<\left|a_{2}\right|<\ldots <\left|a_{n}\right|<\ldots

Рассмотрим систему $n$ уравнений

\begin{gathered} 1+a_{1} u_{1}^{(n)}+a_{1}^{2} u_{2}^{(n)}+\ldots +a_{1}^{n} u_{n}^{(n)}=0, \\ 1+a_{2} u_{1}^{(n)}+a_{2}^{2} u_{2}^{(n)}+\ldots +a_{2}^{n} u_{n}^{(n)}=0, \\ \hdotsfor {1} \\ 1+a_{n} u_{1}^{(n)}+a_{n}^{2} u_{2}^{(n)}+\ldots +a_{n}^{n} u_{n}^{(n)}=0, \end{gathered}

которыми вполне определяются $u_{k}^{(n)}$ . Показать, что при сходимости ряда $\frac{1}{\left|a_{1}\right|}+\frac{1}{\left|a_{2}\right|}+\ldots +\frac{1}{\left|a_{n}\right|}+\ldots$ предел $\lim_{n \rightarrow \infty } u_{k}^{(n)}$ существует, однако не обязательно равен $c_{k}$ . ( $u_{1}=c_{1}, u_{2}=c_{2}, \ldots$ является одним из решений бесконечной системы

1+a_{\nu } u_{1}+a_{\nu }^{2} u_{2}+\ldots =0 \quad (\nu =1,2,3, \ldots ) .)

Задача 7.14

Пусть в системе уравнений

\begin{gathered} c_{11} z_{1}+c_{12} z_{2}+\ldots +c_{1 n} z_{n}=0, \\ c_{21} z_{1}+c_{22} z_{2}+\ldots +c_{2 n} z_{n}=0, \\ \hdotsfor {1} \\ c_{n 1} z_{1}+c_{n 2} z_{2}+\ldots +c_{n n} z_{n}=0 \end{gathered}

коэффициенты и неизвестные представляют собой комплексные числа

c_{\lambda \mu }=a_{\lambda \mu }+i b_{\lambda \mu }, \quad z_{\mu }=x_{\mu }+i y_{\mu },

где $a_{\lambda \mu }, b_{\lambda \mu }, x_{\mu }, y_{\mu }$ вещественны. Чтобы эти уравнения допускали не только тривиальное нулевое решение

z_{1}=z_{2}=\ldots =z_{n}=0,

т. е.

x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=y_{1}=y_{2}=\ldots =y_{n}=0,

необходимо и достаточно, чтобы определитель $\left|c_{\lambda \mu }\right|_{1}^{n}$ был равен нулю. Это дает два уравнения между $2 n^{2}$ вещественными величинами $a_{\lambda \mu }, b_{\lambda \mu }$ . С другой стороны, заданные уравнения можно представить в виде системы $2 n$ однородных линейных уравнений с $2 n$ вещественными неизвестными. Но тогда необходимым и достаточным условием наличия нетривиального решения будет являться обращение в нуль некоторого вещественного определителя, что дает одно уравнение между $a_{\lambda \mu }, b_{\lambda \mu }$ . Как согласовать между собой эти два результата?

Задача 7.15

Все шесть членов в разложении определителя третьего порядка не могут быть одновременно положительны.

Примечание.

G. Rados, задача, Math. és phys. lapok, т. 15, стр. 389, 1906. Решение — M. Fekete и др., там же, т. 16, стр. 310, 1907.

Задача 7.16

Правило разложения определителя состоит из двух частей: первая часть указывает, из каких элементов составляются произведения, тогда как второй частью определяются знаки перед произведениями, образованными указанным образом.

В случае определителей второго порядка вторую часть можно представить в виде следующего простого правила:

Каждому из элементов

\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}

мы сопоставляем соответственно знак

\begin{array}{ll} + & + \\ - & + \end{array} .

Тогда каждый элемент произведения, составленного согласно первой части правила, нужно взять с соответствующим знаком.

Показать теперь, что аналогичное правило для определителей выше чем второго порядка невозможно; иными словами, невозможно $n^{2}$ элементам определителя так поставить в соответствие $n^{2}$ фиксированных знаков, чтобы у всех произведений, составленных согласно первой части общего правила разложения, но с учетом соответствующих знаков, получался в итоге надлежащий знак.

Примечание.

G. Pólya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 20, стр. 271, 1913. Решение — G. Szegö, там же, серия 3, т. 21, стр. 291, 1913.

7.2 · Разложение рациональных функций в степенной ряд[18/83%]

Задача 7.17

Пусть степенной ряд $a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots$ представляет рациональную функцию, у которой знаменатель имеет степень $q$ , а числитель — степень $p-1$ (предполагается, что числитель и знаменатель — взаимно простые; степени — точные). Пусть, далее, $d=\operatorname {Max}(0, p-q)$ . Показать, что

A_{d}^{(q+1)}=A_{d+1}^{(q+1)}=A_{d+2}^{(q+1)}=\ldots =0 .

Задача 7.18

Пусть $d, q$ — неотрицательные целые числа. Если

\begin{array}{lccc} A_{d}^{(q)} \neq 0, & A_{d+1}^{(q)} \neq 0, & A_{d+2}^{(q)} \neq 0, & A_{d+3}^{(q)} \neq 0, \ldots , \\ & A_{d}^{(q+1)}=0, & A_{d+1}^{(q+1)}=0, & A_{d+2}^{(q+1)}=0, \ldots , \end{array}

то степенной ряд может быть представлен в виде отношения двух полиномов, из которых стоящий в знаменателе имеет степень $q$ , а в числителе — степень $\leqslant q+d-1$ .

Задача 7.19

$A_{n}^{(r)} A_{n+2}^{(r)}-A_{n}^{(r+1)} A_{n+2}^{(r-1)}=\left(A_{n+1}^{(r)}\right)^{2}$ .

Примечание.

Kowalewski, стр. 80, 109.

Задача 7.20

Если

A_{m}^{(q+1)}=A_{m+1}^{(q+1)}=A_{m+2}^{(q+1)}=A_{m+3}^{(q+1)}=\ldots =A_{m+t-1}^{(q+1)}=0,

то $t$ определителей

A_{m+1}^{(q)}, \quad A_{m+2}^{(q)}, \quad A_{m+3}^{(q)}, \ldots , A_{m+t}^{(q)}

либо все одновременно равны нулю, либо все одновременно не равны нулю.

Задача 7.21

Если в треугольной схеме

\begin{array}{ccccccccc} A_{0}^{(1)} & A_{1}^{(1)} & A_{2}^{(1)} & A_{3}^{(1)} & A_{4}^{(1)} & * & * & * & * \\ & A_{0}^{(2)} & A_{1}^{(2)} & A_{2}^{(2)} & * & * & * & * & * \\ & & A_{0}^{(3)} & * & * & * & A_{n+2}^{(r-1)} & * & * \\ & & & * & * & A_{n}^{(r)} & A_{n+1}^{(r)} & A_{n+2}^{(r)} & * \\ & & & & * & * & A_{n}^{(r+1)} & * & * \end{array}

построить на произвольном элементе (определителе), как на вершине, открытый сверху прямой угол с вертикальной биссектрисой, то все определители, содержащиеся в этом угле, будут служить минорами определителя, находящегося в вершине.

Задача 7.22

(1)(2)(3)

Условимся говорить, что в схеме 21

\begin{array}{lll} A_{n}^{(r)} & \text{ и } & A_{n+1}^{(r)} \end{array}

образуют горизонтальную пару,

\begin{array}{lll} A_{n+1}^{(r)} & \text{ и } & A_{n}^{(r+1)} \end{array}

образуют вертикальную пару,

\begin{array}{lll} A_{n}^{(r)} & \text{ и } & A_{n}^{(r+1)} \end{array}

образуют диагональную пару,

\begin{array}{lll} A_{n+1}^{(r)} & \text{ и } & A_{n-1}^{(r+1)} \end{array}

образуют точно так же диагональную пару, накрест лежащую с $A_{n}^{(r)}, A_{n}^{(r+1)}$ .

Показать, что

(1)

при обращении в нуль диагональной пары обращается в нуль и накрест лежащая с ней пара;

(2)

при обращении в нуль горизонтальной пары обращается также в нуль расположенная либо над, либо под ней горизонтальная пара;

(3)

при обращении в нуль вертикальной пары обращается также в нуль находящаяся либо слева, либо справа соседняя вертикальная пара.

Свойства 1), 2), 3) сохраняют силу также на наклонном крае схемы 21.

Примечание.

A. Stoll.

Задача 7.23

Если лишь конечное число определителей бесконечной последовательности

A_{0}^{(k+1)}, \quad A_{1}^{(k+1)}, \quad A_{2}^{(k+1)}, \ldots , A_{n}^{(k+1)}, \ldots

отлично от нуля, то степенной ряд $a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots$ представляет рациональную функцию, степень знаменателя которой не превосходит $k$ .

Примечание.

См. É. Borel, Bull. d. Sc. Math., серия 2, т. 18, стр. 22--25, 1894.

Задача 7.24

Если лишь конечное число определителей бесконечной последовательности

A_{0}^{(1)}, \quad A_{0}^{(2)}, \quad A_{0}^{(3)}, \ldots , A_{0}^{(n)}, \ldots

отлично от нуля, то степенной ряд $a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots$ представляет рациональную функцию.

Примечание.

L. Kronecker, Monatsber. d. Akad. Berlin, 1881, стр. 566--567.

Задача 7.25

Если лишь конечное число определителей бесконечной схемы

\begin{array}{rlllll} A_{0}^{(1)}, & A_{1}^{(2)}, & A_{2}^{(3)}, & A_{3}^{(4)}, \ldots , A_{n}^{(n+1)}, & \ldots \\ & A_{1}^{(1)}, & A_{2}^{(2)}, & A_{3}^{(3)}, \ldots , A_{n}^{(n)}, & \ldots \end{array}

отлично от нуля, то степенной ряд $a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots$ представляет рациональную функцию.

Примечание.

G. Pólya, Math. Ann., т. 77, стр. 507, 1916.

Задача 7.26

Показать, что указанные в задачах 23, 24, 25 достаточные условия рациональности функции, представляемой степенным рядом $a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots$ , являются также необходимыми.

Задача 7.27

Ранг матрицы $\mathfrak {H}$ конечен тогда и только тогда, когда степенной ряд $a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots$ представляет рациональную функцию.

Задача 7.28

Брутто-ранг матрицы $\mathfrak {H}$ равен порядку последнего не обращающегося в нуль определителя из бесконечной последовательности

A_{0}^{(1)}, \quad A_{0}^{(2)}, \quad A_{0}^{(3)}, \quad A_{0}^{(4)}, \ldots

Пусть таковым является $A_{0}^{(p)}$ ; тогда нетто-ранг равен порядку первого не равного нулю определителя из конечной последовательности

A_{1}^{(p)}, \quad A_{2}^{(p-1)}, \quad A_{3}^{(p-2)}, \ldots , A_{p}^{(1)} .

(Если все эти $p$ определителей равны нулю, то и нетто-ранг равен нулю.)

Задача 7.29

Нетто-ранг матрицы $\mathfrak {H}$ в случае, если он конечен, равен степени знаменателя рациональной функции, представляемой рядом $a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots$ Эта рациональная функция будет правильной дробью тогда и только тогда, когда брутто-ранг равен нетто-рангу. Если брутто-ранг больше нетто-ранга, то он превосходит на единицу степень числителя. (Числитель и знаменатель рациональной функции предполагаются, конечно, взаимно простыми; степень числителя — точной.)

Задача 7.30

Функция, представляемая степенным рядом

a_{0}+\frac{a_{1} z}{1!}+\frac{a_{2} z^{2}}{2!}+\ldots +\frac{a_{n} z^{n}}{n!}+\ldots ,

тогда и только тогда удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, когда все определители

A_{0}^{(1)}, \quad A_{0}^{(2)}, \quad A_{0}^{(3)}, \ldots , A_{0}^{(n)}, \ldots ,

за исключением нескольких, равны нулю.

Примечание.

E. Beke, Math. és term. ért., т. 34, стр. 25, 1916.

Задача 7.31

Пусть $Q_{n}(z)$ — полином $n$ -й степени, $Q_{n}(0)=1$ $(n=0,1,2, \ldots )$ . Положим для краткости

\begin{gathered} a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots =f(z), \quad Q_{k}(z) f(z)=\square _{k} a_{0}+\square _{k} a_{1} z+\square _{k} a_{2} z^{2}+\ldots , \\ Q_{k}(z) Q_{l}(z) f(z)=\square _{k} \square _{l} a_{0}+\square _{k} \square _{l} a_{1} z+\square _{k} \square _{l} a_{2} z^{2}+\ldots \end{gathered}

( $\square_{k} \square_{l} a_{n}$ есть однородное линейное выражение, составленное из $a_{n}, a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots , a_{n-k-l}$ ).

Показать, что

A_{0}^{(n+1)}= \begin{vmatrix} a_{0} & \square _{1} a_{1} & \ldots & \square _{n} a_{n} \\ \square _{1} a_{1} & \square _{1} \square _{1} a_{2} & \ldots & \square _{1} \square _{n} a_{n+1} \\ \hdotsfor {4} \\ \square _{n} a_{n} & \square _{n} \square _{1} a_{n+1} & \ldots & \square _{n} \square _{n} a_{2 n} \end{vmatrix} .

Примечание.

G. Pólya, Proc. Lond. M. S. (2), т. 21, стр. 25--26, 1922.

Задача 7.32

Пусть $\frac{a_{0}}{z}+\frac{a_{1}}{z^{2}}+\frac{a_{2}}{z^{3}}+\ldots$ будет степенное разложение рациональной функции со знаменателем $z^{q}-c_{1} z^{q-1}-c_{2} z^{q-2}-\ldots -c_{q}$ . Числитель и знаменатель предполагаются взаимно простыми. Показать, что матрицы

\mathfrak {A}_{m}= \begin{pmatrix} a_{m} & a_{m+1} & \ldots & a_{m+q-1} \\ a_{m+1} & a_{m+2} & \ldots & a_{m+q} \\ \hdotsfor {4} \\ a_{m+q-1} & a_{m+q} & \ldots & a_{m+2 q-2} \end{pmatrix}, \quad \mathfrak {C}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & c_{q} \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & c_{q-1} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & c_{q-2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & c_{q-3} \\ \hdotsfor {7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & c_{1} \end{pmatrix}

связаны соотношением

\mathfrak {A}_{m}=\mathfrak {A}_{0} \mathfrak {C}^{m} \quad (m=0,1,2, \ldots ) .

Задача 7.33

Если ранг матрицы системы конечного числа степенных рядов равен $r$ , то между этими рядами имеются $r$ линейно независимых, все же остальные линейно зависят от этих $r$ рядов.

Задача 7.34

Если нетто-ранг матрицы системы конечного числа степенных рядов равен $r$ , то между этими рядами имеются $r$ квази-линейно независимых, все же остальные квази-линейно зависят от указанных $r$ рядов.

7.3 · Образование положительных квадратичных форм[11/100%]

Задача 7.35

Если квадратичные формы

\sum _{\lambda =1}^{n} \sum _{\mu =1}^{n} a_{\lambda \mu } x_{\lambda } x_{\mu } \quad \text{ и } \quad \sum _{\lambda =1}^{n} \sum _{\mu =1}^{n} b_{\lambda \mu } x_{\lambda } x_{\mu }

положительны, то квадратичная форма

\sum _{\lambda =1}^{n} \sum _{\mu =1}^{n} a_{\lambda \mu } b_{\lambda \mu } x_{\lambda } x_{\mu }

точно так же положительна. Если, кроме того, одна из этих двух форм является определенной, а в матрице другой элементы главной диагонали отличны от нуля, то третья также будет определенной.

Примечание.

I. Schur, J. für Math., т. 140, стр. 14, 1911.

Задача 7.36

Рассмотрим симметрические матрицы

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \hdotsfor {4} \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} e^{a_{11}} & e^{a_{12}} & \ldots & e^{a_{1 n}} \\ e^{a_{21}} & e^{a_{22}} & \ldots & e^{a_{2 n}} \\ \hdotsfor {4} \\ e^{a_{n 1}} & e^{a_{n 2}} & \ldots & e^{a_{n n}} \end{pmatrix}

Если квадратичная форма, определяемая матрицей $\left(a_{\lambda \mu }\right)$ , положительна, то положительной будет и форма, определяемая матрицей $\left(e^{a_{\lambda \mu }}\right)$ . Если, кроме того, в матрице $\left(a_{\lambda \mu }\right)$ нет тождественно совпадающих строк, то форма, определяемая матрицей $\left(e^{a_{\lambda \mu }}\right)$ , будет даже определенной. [V 76.]

Задача 7.37

Пусть степенной ряд

p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+\ldots =F(x),

имеющий неотрицательные коэффициенты, сходится при $x=a_{11}, a_{12}, \ldots , a_{n n}$ . Если квадратичная форма, определяемая симметрической матрицей $n$ -го порядка $\left(a_{\lambda \mu }\right)$ , положительна, то положительной также будет форма, принадлежащая матрице $\left(F\left(a_{\lambda \mu }\right)\right)$ ; если, кроме того, между коэффициентами $p_{0}, p_{2}, p_{4}, \ldots$ имеется по крайней мере $n$ отличных от нуля, а все строки матрицы $\left(a_{\lambda \mu }^{2}\right)$ различны, то последняя форма будет даже определенной.

Задача 7.38

Пусть вещественные числа $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{2 n}$ обладают следующим свойством: для любого полинома $f(x)$ степени не выше $2 n$ , неотрицательного и не равного тождественно нулю, имеет место неравенство

a_{0} f(x)+\frac{a_{1}}{1!} f^{\prime }(x)+\frac{a_{2}}{2!} f^{\prime \prime }(x)+\ldots +\frac{a_{2 n}}{(2 n)!} f^{(2 n)}(x) \geqslant 0 \quad \text{ (соотв. }>0)

при всех значениях $x$ .

Показать, что необходимым и достаточным условием для этого является положительность (соотв. положительность и определенность) квадратичной формы

\sum _{\lambda =0}^{n} \sum _{\mu =0}^{n} a_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu } .

Примечание.

R. Remak, Math. Ann., т. 72, стр. 153, 1912; см. также A. Hurwitz, там же, т. 73, стр. 173, 1913.

Задача 7.39

Пусть числа $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ $(n \geqslant 1)$ обладают следующим свойством: для любого полинома $f(x)$ степени не выше $n$ , неотрицательного для неотрицательных значений $x$ и не равного тождественно нулю, имеет место неравенство

a_{0} f(x)+\frac{a_{1}}{1!} f^{\prime }(x)+\frac{a_{2}}{2!} f^{\prime \prime }(x)+\ldots +\frac{a_{n}}{n!} f^{(n)}(x) \geqslant 0 \quad \text{ (соотв. }>0)

при любых неотрицательных значениях $x$ .

Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы квадратичные формы

\sum _{\lambda =0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \sum _{\mu =0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} a_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \sum _{\mu =0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} a_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu }

были обе положительны (соотв. положительно определенны).

Примечание.

См. G. Pólya, Math. és term. ért., т. 32, стр. 662--665, 1914.

Задача 7.40

Пусть числа $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ $(n \geqslant 1)$ обладают следующим свойством: для всякого полинома $f(x)$ степени $\leqslant n$ , неотрицательного в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ и не равного тождественно нулю, выполняется неравенство

a_{0} f(x)+\frac{a_{1}}{1!} f^{\prime }(x)+\frac{a_{2}}{2!} f^{\prime \prime }(x)+\ldots +\frac{a_{n}}{n!} f^{(n)}(x) \geqslant 0

при любых $x$ в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$ . Показать, что тогда непременно

a_{0} \geqslant 0, \quad a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0 .

Задача 7.41

Пусть обе квадратичные формы

\sum _{\lambda =0}^{n} \sum _{\mu =0}^{n} a_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{n} \sum _{\mu =0}^{n} b_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }

положительны. Положим

c_{\nu }=a_{0} b_{\nu }+\binom {\nu }{1} a_{1} b_{\nu -1}+\binom {\nu }{2} a_{2} b_{\nu -2}+\ldots +a_{\nu } b_{0} .

Тогда квадратичная форма

\sum _{\lambda =0}^{n} \sum _{\mu =0}^{n} c_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }

будет также положительной и притом определенной, если по крайней мере одна из данных форм определенная.

Примечание.

См. l. c. 39, стр. 665--667. См. также M. Fujiwara, Tôhoku Math. J., т. 6, стр. 20--26, 1914--1915.

Задача 7.42

Пусть

c_{\nu }=a_{0} b_{\nu }+\binom {\nu }{1} a_{1} b_{\nu -1}+\binom {\nu }{2} a_{2} b_{\nu -2}+\ldots +a_{\nu } b_{0} .

Показать, что из положительности четырех квадратичных форм

\begin{aligned} & \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} a_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{m-1} \sum _{\mu =0}^{m-1} a_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu }, \\ & \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} b_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{m-1} \sum _{\mu =0}^{m-1} b_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu } \end{aligned}

вытекает положительность двух следующих:

\sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} c_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{m-1} \sum _{\mu =0}^{m-1} c_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu } .

Далее из положительности четырех форм

\begin{array}{ll} \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} a_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, & \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} a_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu }, \\ \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} b_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, & \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} b_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu } \end{array}

вытекает положительность обеих форм

\sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} c_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} c_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu } .

Примечание.

См. l. c. 39, стр. 667--668.

Задача 7.43

Пусть комплексные числа $c_{-n}, c_{-n+1}, \ldots , c_{-1}, c_{0}, c_{1}, \ldots , c_{n-1}, c_{n}$ , $c_{-\nu }=\bar{c}_{\nu }$ $(\nu =0,1,2, \ldots , n)$ обладают следующим свойством: если любой тригонометрический полином порядка не выше $n$ вида

\begin{gathered} g(\vartheta )=\alpha _{0}+2\left(\alpha _{1} \cos \vartheta +\beta _{1} \sin \vartheta +\alpha _{2} \cos 2 \vartheta +\beta _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ \ldots +\alpha _{n} \cos n \vartheta +\beta _{n} \sin n \vartheta \right)=\sum _{\nu =-n}^{n} \gamma _{\nu } e^{-i \nu \vartheta } \\ \left(\gamma _{\nu }=\bar{\gamma }_{-\nu }=\alpha _{\nu }+i \beta _{\nu }, \quad \nu =0,1,2, \ldots , n ; \quad \beta _{0}=0\right) \end{gathered}

неотрицателен и не равен тождественно нулю, то имеет место неравенство

\sum _{\nu =-n}^{n} c_{\nu } \gamma _{\nu } e^{-i \nu \vartheta } \geqslant 0 \quad (\text{ соотв. }>0) .

Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы эрмитова форма

\sum _{\lambda =0}^{n} \sum _{\mu =0}^{n} c_{\mu -\lambda } x_{\lambda } \bar{x}_{\mu }

была положительной (соотв. положительно определенной).

Примечание.

См. O. Szász, Math. Zeitschr., т. 1, стр. 150--152, 1918.

Задача 7.43.1

Пусть $G(z)$ — целая функция, принимающая вещественные значения при вещественных $z$ , причем $G(0) = 1$ и

-\frac{G'(z)}{G(z)} = s_{1} + s_{2} z + s_{3} z^{2} + \cdots + s_{m} z^{m-1} + \cdots .

Если $G(z)$ имеет бесконечно много нулей, и все они вещественны, и если $G(z)$ имеет вид, указанный в задаче 165 части V, то при $n = 1, 2, 3, \ldots$

\begin{vmatrix} s_{2} & s_{3} & s_{4} & \ldots & s_{n+1} \\ s_{3} & s_{4} & s_{5} & \ldots & s_{n+2} \\ s_{4} & s_{5} & s_{6} & \ldots & s_{n+3} \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \\ s_{n+1} & s_{n+2} & s_{n+3} & \ldots & s_{2n} \end{vmatrix} > 0.

(Если функция $G(z)$ вида, указанного в задаче 165 части V, имеет лишь конечное число нулей, то лишь конечное число этих рекуррентных определителей может быть $\neq 0$ [задача 27].)

Задача 7.43.1

Пусть $G(z)$ — целая функция, принимающая вещественные значения при вещественных $z$ , причем $G(0) = 1$ и

-\frac{G'(z)}{G(z)} = s_{1} + s_{2} z + s_{3} z^{2} + \cdots + s_{m} z^{m-1} + \cdots .

\begin{vmatrix} s_{2} & s_{3} & s_{4} & \ldots & s_{n+1} \\ s_{3} & s_{4} & s_{5} & \ldots & s_{n+2} \\ s_{4} & s_{5} & s_{6} & \ldots & s_{n+3} \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \\ s_{n+1} & s_{n+2} & s_{n+3} & \ldots & s_{2n} \end{vmatrix} > 0.

Задача 7.43.2

Пусть $G(z)$ — целая функция вида, указанного в задаче 165 части V, но не вида $e^{\beta z}$ , и

\frac{1}{G(z)} = c_{0} + \frac{c_{1}}{1!} z + \frac{c_{2}}{2!} z^{2} + \frac{c_{3}}{3!} z^{3} + \cdots .

Тогда при $n = 0, 1, 2, \ldots$

\begin{vmatrix} c_{0} & c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} & \ldots & c_{n+1} \\ c_{2} & c_{3} & c_{4} & \ldots & c_{n+2} \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \\ c_{n} & c_{n+1} & c_{n+2} & \ldots & c_{2n} \end{vmatrix} > 0.

Задача 7.43.2

Пусть $G(z)$ — целая функция вида, указанного в задаче 165 части V, но не вида $e^{\beta z}$ , и

\frac{1}{G(z)} = c_{0} + \frac{c_{1}}{1!} z + \frac{c_{2}}{2!} z^{2} + \frac{c_{3}}{3!} z^{3} + \cdots .

Тогда при $n = 0, 1, 2, \ldots$

\begin{vmatrix} c_{0} & c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} & \ldots & c_{n+1} \\ c_{2} & c_{3} & c_{4} & \ldots & c_{n+2} \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \\ c_{n} & c_{n+1} & c_{n+2} & \ldots & c_{2n} \end{vmatrix} > 0.

7.4 · Разные задачи[17/82%]

Задача 7.44

Будем рассматривать $n^{2}$ элементов $a_{\lambda \mu }$ определителя $n$ -го порядка как независимые переменные. Показать, что между $n!$ слагаемыми $\pm a_{1 k_{1}} a_{2 k_{2}} \ldots a_{n k_{n}}$ в разложении определителя имеется лишь $N=n^{2}-2 n+2$ независимых между собой, и указать $N$ таких членов, через которые все остальные могут быть выражены рационально.

Примечание.

I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 19, стр. 276, 1912. Решение — G. Pólya, там же, серия 3, т. 24, стр. 369, 1916.

Задача 7.45

Обозначим через $s_{n}^{\prime }$ число отличных друг от друга положительных слагаемых в разложении симметрического определителя $n$ -го порядка (с произвольными элементами), а через $s_{n}^{\prime \prime }$ — соответствующее число отрицательных слагаемых. Для $s_{n}=s_{n}^{\prime }+s_{n}^{\prime \prime }$ уже Кэли указал рекуррентную формулу

s_{n+1}=(n+1) s_{n}-\binom {n}{2} s_{n-2} .

Показать, что для $d_{n}=s_{n}^{\prime }-s_{n}^{\prime \prime }$ имеет место рекуррентная формула

d_{n+1}=-(n-1) d_{n}-\binom {n}{2} d_{n-2}

и что

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{n^{\frac{1}{2}} s_{n}}{n!}=\frac{e^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{\pi }}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{(-1)^{n-1} n^{\frac{3}{2}} d_{n}}{n!}=\frac{e^{-\frac{3}{4}}}{2 \sqrt{\pi }} .

Примечание.

I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27, стр. 162, 1918.

Задача 7.46

Обозначим через $\sigma_{n}^{\prime }$ число отличных друг от друга положительных слагаемых в разложении симметрического определителя $n$ -го порядка $\left|a_{\lambda \mu }\right|$ , у которого все элементы главной диагонали $a_{\lambda \lambda }$ равны нулю, а через $\sigma_{n}^{\prime \prime }$ — соответствующее число отрицательных слагаемых. Положим

\sigma _{n}=\sigma _{n}^{\prime }+\sigma _{n}^{\prime \prime }, \quad \delta _{n}=\sigma _{n}^{\prime }-\sigma _{n}^{\prime \prime } .

Тогда

\sigma _{n+1}=n \sigma _{n}+n \sigma _{n-1}-\binom {n}{2} \sigma _{n-2}, \quad \delta _{n+1}=-n \delta _{n}-n \delta _{n-1}-\binom {n}{2} \delta _{n-2}

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{n^{\frac{1}{2}} \sigma _{n}}{n!}=\frac{e^{-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi }}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{(-1)^{n-1} n^{\frac{3}{2}} \delta _{n}}{n!}=\frac{e^{\frac{1}{4}}}{2 \sqrt{\pi }} .

Примечание.

I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27, стр. 163, 1918.

Задача 7.46.1

Пусть прописные буквы $A, B, \ldots , I, \ldots , Z$ обозначают матрицы размера $n \times n$ . В частности, пусть $I$ обозначает единичную матрицу, у которой по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны $0$ , а $Z$ — матрицу, все элементы которой равны $1$ . Показать, что

Z \cdot Z = n \cdot Z.

Задача 7.46.1

Z \cdot Z = n \cdot Z.

Задача 7.46.2

(Продолжение.) Если все элементы матрицы $A$ — положительные числа,

A \cdot B = I,

и $n > 1$ , то среди элементов матрицы $B$ имеется по меньшей мере $n$ положительных и по меньшей мере $n$ отрицательных чисел.

Доказать это и показать на примерах, что обе границы для числа положительных элементов, $n$ и $n^{2} - n$ , достижимы.

Задача 7.46.2

(Продолжение.) Если все элементы матрицы $A$ — положительные числа,

A \cdot B = I,

Задача 7.47

Обозначим произведение $\prod_{j<k}^{1,2, \ldots , n}\left(x_{j}-x_{k}\right)$ через $\Delta$ . Тогда, как известно, выражение вида

\Phi =\frac{1}{\Delta } \sum \pm \varphi \left(x_{\lambda _{1}}, x_{\lambda _{2}}, \ldots , x_{\lambda _{n}}\right),

где сумма распространена на все $n!$ перестановок из $1,2, \ldots , n$ и для четных перестановок берется знак плюс, а для нечетных — минус, будет симметрической функцией от $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ . Показать, что если

\varphi =\prod _{\nu =1}^{n} \frac{1}{1-x_{1} x_{2} \ldots x_{\nu }},

то тогда

\Phi =\frac{1}{\prod _{\nu =1}^{n}\left(1-x_{\nu }\right) \prod _{j>k}^{1,2, \ldots , n}\left(1-x_{j} x_{k}\right)} .

Примечание.

I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27, стр. 163, 1918.

Задача 7.48

Пусть характеристическое уравнение системы $n^{2}$ величин $a_{\lambda \mu }$

\chi (z)= \begin{vmatrix} a_{11}-z & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22}-z & \ldots & a_{2 n} \\ \hdotsfor {4} \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}-z \end{vmatrix}=0

имеет корни $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ , не все равные нулю. Обозначим через $\chi_{\lambda \mu }(z)$ алгебраические дополнения элементов определителя $\chi (z)$ . Доказать, что характеристическое уравнение величин $\chi_{\lambda \mu }(z)$ имеет корни

\zeta _{\rho }=\frac{\chi (z)}{\alpha _{\rho }-z} \quad (\rho =1,2, \ldots , n) .

Примечание.

P. Epstein, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 8, стр. 262, 1905.

Задача 7.49

Линейные преобразования

S_{\alpha }: \quad y_{p}=\frac{\sin \alpha \pi }{n+1} \sum _{q=0}^{n} \frac{x_{q}}{\sin \frac{\pi }{n+1}(p-q+\alpha )} \quad (p=0,1, \ldots , n),

где $\alpha$ произвольно, образуют группу в том смысле, что

S_{\alpha } S_{\beta }=S_{\alpha +\beta } .

Примечание.

M. Riesz.

Задача 7.50

Пусть $g(\vartheta )$ — тригонометрический полином с вещественными коэффициентами порядка не выше $n$ . Указать, каким условиям он должен удовлетворять, чтобы линейные преобразования

S_{\alpha }: \quad y_{p}=\sum _{q=0}^{n} x_{q} g\left(\frac{\pi }{n+1}(p-q+\alpha )\right) \quad (p=0,1, \ldots , n),

где $\alpha$ произвольно, образовывали группу в смысле задачи 49.

Задача 7.51

Определитель преобразования $S_{\alpha }$ тождественно равен нулю, за тем единственным исключением, когда

g(\vartheta )=\frac{1}{n+1} \frac{\sin (n+1) \vartheta }{\sin \vartheta } \quad \text{[49]}

в этом случае он тождественно равен единице.

Примечание.

Продолжение задачи 50.

Задача 7.52

Преобразование $S_{\alpha }$ ортогонально, т. е. тождественно для всех $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$

y_{0}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2} .

Примечание.

Продолжение задачи 49.

Задача 7.53

Числа Фибоначчи $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, \ldots$ определяются условиями $u_{0}=0$ , $u_{1}=1$ , $u_{n}+u_{n+1}=u_{n+2}$ $(n=0,1,2, \ldots )$ . Показать, что линейное преобразование

y_{n}=\frac{u_{1} x_{1}+u_{2} x_{2}+\ldots +u_{n} x_{n}-u_{n} x_{n+1}}{\sqrt{u_{n} u_{n+2}}} \quad (n=1,2,3, \ldots )

ортогонально.

Примечание.

I. Schur.

Задача 7.54

Линейное преобразование

y_{m}=\frac{\sin \alpha \pi }{\pi } \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{x_{n}}{m+n-\alpha } \quad (m=\ldots ,-2,-1,0,1,2, \ldots ),

где $\alpha$ — не целое вещественное число, ортогонально.

Примечание.

E. C. Titchmarch, Proc. Lond. M. Soc. (2), т. 22, вып. 5, III, 1924.

Задача 7.54.1

В задачах 54.1--54.4 мы рассматриваем бесконечные треугольные матрицы

\begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix},

причем подразумевается, что все элементы выше главной диагонали равны $0$ . Равенство между такими матрицами считается верным тогда и только тогда, когда оно верно для соответствующих подматриц с $n^{2}$ элементами, получаемых вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме первых $n$ , при $n = 1, 2, 3, \ldots$ .

Доказать соотношение, содержащее биномиальные коэффициенты,

\begin{pmatrix} 1 & & & \\ 1 & 1 & & \\ 1 & 2 & 1 & \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & & & \\ -1 & 1 & & \\ 1 & -2 & 1 & \\ -1 & 3 & -3 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}.

Задача 7.54.1

В задачах 54.1--54.4 мы рассматриваем бесконечные треугольные матрицы

\begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix},

Доказать соотношение, содержащее биномиальные коэффициенты,

\begin{pmatrix} 1 & & & \\ 1 & 1 & & \\ 1 & 2 & 1 & \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & & & \\ -1 & 1 & & \\ 1 & -2 & 1 & \\ -1 & 3 & -3 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}.

Задача 7.54.2

Доказать соотношение, содержащее числа Стирлинга $s_{k}^{n}$ и $S_{k}^{n}$ первого и второго рода соответственно (см. введения к задачам 197 и 186 части I),

\begin{pmatrix} 1 & & & \\ 1 & 1 & & \\ 1 & 3 & 1 & \\ 1 & 7 & 6 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & & & \\ -1 & 1 & & \\ 2 & -3 & 1 & \\ -6 & 11 & -6 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}.

Иными словами, матрицы $(S_{k}^{n})$ и $((-1)^{n-k} s_{k}^{n})$ взаимно обратны.

Задача 7.54.2

\begin{pmatrix} 1 & & & \\ 1 & 1 & & \\ 1 & 3 & 1 & \\ 1 & 7 & 6 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & & & \\ -1 & 1 & & \\ 2 & -3 & 1 & \\ -6 & 11 & -6 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}.

Иными словами, матрицы $(S_{k}^{n})$ и $((-1)^{n-k} s_{k}^{n})$ взаимно обратны.

Задача 7.54.3

Доказать, что

\begin{pmatrix} 1 & & & & \\ 1 & -1 & & & \\ 1 & -2 & 1 & & \\ 1 & -3 & 3 & -1 & \\ 1 & -4 & 6 & -4 & 1 \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ 0 & 1 & & & \\ 0 & 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}.

Примечание.

Ср. задачу 34.1 части I и задачу 54.1.

Задача 7.54.3

Доказать, что

\begin{pmatrix} 1 & & & & \\ 1 & -1 & & & \\ 1 & -2 & 1 & & \\ 1 & -3 & 3 & -1 & \\ 1 & -4 & 6 & -4 & 1 \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ 0 & 1 & & & \\ 0 & 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}.

Примечание.

Ср. задачу 34.1 части I и задачу 54.1.

Задача 7.54.4

Обобщая задачу 54.3, найти все бесконечные последовательности чисел $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ такие, что система соотношений

y_{n} = a_{n} x_{0} - \binom {n}{1} a_{n-1} x_{1} + \binom {n}{2} a_{n-2} x_{2} - \cdots + (-1)^{n} a_{0} x_{n}, \qquad n = 0, 1, 2, 3, \ldots ,

влечет за собой ту же систему с переменой ролей $x$ и $y$ , т. е.

x_{n} = a_{n} y_{0} - \binom {n}{1} a_{n-1} y_{1} + \binom {n}{2} a_{n-2} y_{2} - \cdots + (-1)^{n} a_{0} y_{n}

при $n = 0, 1, 2, 3, \ldots$ .

Примечание.

См. задачу 34.1 части I.

Задача 7.54.4

y_{n} = a_{n} x_{0} - \binom {n}{1} a_{n-1} x_{1} + \binom {n}{2} a_{n-2} x_{2} - \cdots + (-1)^{n} a_{0} x_{n}, \qquad n = 0, 1, 2, 3, \ldots ,

влечет за собой ту же систему с переменой ролей $x$ и $y$ , т. е.

x_{n} = a_{n} y_{0} - \binom {n}{1} a_{n-1} y_{1} + \binom {n}{2} a_{n-2} y_{2} - \cdots + (-1)^{n} a_{0} y_{n}

при $n = 0, 1, 2, 3, \ldots$ .

Примечание.

См. задачу 34.1 части I.

7.5 · Определители систем функций[18/100%]

Задача 7.55

При любых постоянных $c_{\lambda \mu }$

\begin{aligned} W(c_{11} f_{1}+c_{12} f_{2}+\ldots +c_{1 n} f_{n}, \quad c_{21} f_{1}+c_{22} f_{2} & +\ldots +c_{2 n} f_{n}, \ldots \\ \ldots , c_{n 1} f_{1}+c_{n 2} f_{2} & +\ldots +c_{n n} f_{n})= \\ & =\left|c_{\lambda \mu }\right|_{1}^{n} \cdot W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}\right) . \end{aligned}

Задача 7.56

Показать, что

\begin{aligned} & W\left[f_{1}(\varphi (x)), f_{2}(\varphi (x)), \ldots , f_{n}(\varphi (x))\right]= \\ & \qquad =\left[\varphi ^{\prime }(x)\right]^{\frac{n(n-1)}{2}} W\left[f_{1}(y), f_{2}(y), \ldots , f_{n}(y)\right], \end{aligned}

где в правой части надо подставить $y=\varphi (x)$ .

Задача 7.57

$W\left(\varphi f_{1}, \varphi f_{2}, \ldots , \varphi f_{n}\right)=\varphi^{n} W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}\right)$ .

Задача 7.58

$\frac{1}{f_{1}^{n}} W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}\right)=W\left[\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{\prime },\left(\frac{f_{3}}{f_{1}}\right)^{\prime }, \ldots ,\left(\frac{f_{n}}{f_{1}}\right)^{\prime }\right]$ .

Задача 7.59

\begin{aligned} \frac{d}{d x} \frac{W\left(f_{1}, \ldots , f_{n-2}, f_{n}\right)}{W\left(f_{1}, \ldots , f_{n-2}, f_{n-1}\right)}= \\ \qquad =\frac{W\left(f_{1}, \ldots , f_{n-2}\right) W\left(f_{1}, \ldots , f_{n-2}, f_{n-1}, f_{n}\right)}{\left[W\left(f_{1}, \ldots , f_{n-2}, f_{n-1}\right)\right]^{2}} . \end{aligned}

Задача 7.60

Если $W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n-1}, f_{n}\right)$ обращается в нуль во всех точках интервала $(a, b)$ , а $W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n-1}\right)$ — ни в одной, то можно указать $n-1$ таких постоянных $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n-1}$ , чтобы во всем интервале $(a, b)$ соблюдалось тождество

f_{n}(x)=c_{1} f_{1}(x)+c_{2} f_{2}(x)+\ldots +c_{n-1} f_{n-1}(x) .

Задача 7.61

Если $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)$ суть $n$ линейно независимых интегралов однородного линейного дифференциального уравнения $n$ -го порядка

y^{(n)}+\varphi _{1}(x) y^{(n-1)}+\varphi _{2}(x) y^{(n-2)}+\ldots +\varphi _{n}(x) y=0,

то для каждой функции $y$ имеет место соотношение

y^{(n)}+\varphi _{1}(x) y^{(n-1)}+\varphi _{2}(x) y^{(n-2)}+\ldots +\varphi _{n}(x) y \equiv \frac{W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}, y\right)}{W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}\right)} .

Задача 7.62

Положим

1=W_{0}, \quad f_{1}=W_{1}, \quad W\left(f_{1}, f_{2}\right)=W_{2}, \ldots , W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}\right)=W_{n} .

Тогда для всех функций $y$ имеет место соотношение

\begin{aligned} & y^{(n)}+\varphi _{1}(x) y^{(n-1)}+\varphi _{2}(x) y^{(n-2)}+\ldots +\varphi _{n}(x) y \equiv \\ & \qquad \equiv \frac{W_{n}}{W_{n-1}} \frac{d}{d x}\left\{ \frac{W_{n}^{2}-1}{W_{n-2} W_{n}} \cdots \frac{d}{d x}\left[\frac{W_{2}^{2}}{W_{1} W_{3}} \frac{d}{d x}\left(\frac{W_{1}^{2}}{W_{0} W_{2}} \frac{d}{d x} \frac{y}{W_{1}}\right)\right]\right\} . \end{aligned}

Это представление линейного дифференциального выражения, предполагающее знание $n$ независимых интегралов, имеет сходство с разложением на множители полинома $n$ -й степени, предполагающим знание $n$ его нулей.

Примечание.

Продолжение задачи 61.

Задача 7.63

Пусть $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)$ — вещественные функции, непрерывные в интервале $a, b$ . Показать, что определитель

\left|\int _{a}^{b} f_{\lambda }(x) f_{\mu }(x) d x\right|_{\lambda , \mu =1,2, \ldots , n}

неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда, когда между функциями $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)$ существует линейная зависимость.

Примечание.

J. P. Gram, J. für Math., т. 94, стр. 41--73, 1883.

Задача 7.64

Определитель

\begin{vmatrix} \int _{a}^{b}\left(f_{2}^{2}+f_{3}^{2}+\ldots +f_{n}^{2}\right) d x & -\int _{a}^{b} f_{1} f_{2} d x & \ldots & -\int _{a}^{b} f_{1} f_{n} d x \\ -\int _{a}^{b} f_{2} f_{1} d x & \int _{a}^{b}\left(f_{1}^{2}+f_{3}^{2}+\ldots +f_{n}^{2}\right) d x & \ldots & -\int _{a}^{b} f_{2} f_{n} d x \\ \hdotsfor {4} \\ -\int _{a}^{b} f_{n} f_{1} d x & -\int _{a}^{b} f_{n} f_{2} d x & \ldots & \int _{a}^{b}\left(f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\ldots +f_{n}^{2}-1\right) d x \end{vmatrix}

неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда, когда функции $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)$ отличаются друг от друга лишь постоянными множителями или, иными словами, все являются кратными одной из них.

Примечание.

Продолжение задачи 63. G. Pólya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 20, стр. 271, 1913.

Задача 7.65

Определитель

\left|\int _{e^{a}}^{b} f_{\lambda }(x) f_{\mu }(x) d x\right|_{\lambda , \mu =1,2, \ldots , n}

неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда, когда какие-нибудь две из функций $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)$ тождественно совпадают.

Примечание.

Продолжение задачи 63. E. H. Moore, задача, Amer. Math. Monthly, т. 24, стр. 293, 1916. Решение — C. F. Gummer, там же, стр. 293, 333--334 (как указано на стр. 333, первое решение на стр. 293 неправильно).

Задача 7.66

Нижеследующая теорема представляет собой обобщение теоремы, упомянутой по одному поводу Гауссом в его «Theoria combinationis observationum» [Opera omnia, т. 4, стр. 12, см. две последние строки в Art. 11].

Пусть $f(x)$ для $x>0$ представляет собой функцию невозрастающую неотрицательную и вместе с тем не равную тождественно нулю. Пусть, далее, все числа $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ различны между собой. Показать, что (при допущении существования всех входящих интегралов) определитель

\left|\left(a_{\lambda }+a_{\mu }+1\right) \int _{0}^{\infty } x^{a_{\lambda }+a_{\mu }} f(x) d x\right|_{\lambda , \mu =1,2, \ldots , n}

неотрицателен; он обращается в нуль тогда и только тогда, когда $f(x)$ представляет собой кусочно-постоянную функцию с не более чем $n-1$ точкой разрыва.

Примечание.

G. Pólya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 28, стр. 174, 1920.

Задача 7.67

Образовать формы Тёплица, принадлежащие функциям $f(\vartheta )=c=\text{const.}$ , $f(\vartheta )=a_{0}+2\left(a_{1} \cos \vartheta +b_{1} \sin \vartheta \right)$ ,

f(\vartheta )=\frac{1-r^{2}}{1-2 r \cos \vartheta +r^{2}}, \quad 0<r<1 .

Примечание.

По поводу 67, 68 см. O. Toeplitz, Gött. Nachr. 1907, стр. 110--115; 1910, стр. 489--506.

Задача 7.68

Если функция $f(\vartheta )$ положительна в интервале $0 \leqslant \vartheta <2 \pi$ , то все формы Тёплица положительно определенны. Более точно: если $f(\vartheta )$ в интервале $0 \leqslant \vartheta <2 \pi$ заключена в границах $m \leqslant f(\vartheta ) \leqslant M$ , то тогда и

m \leqslant T_{n}(f) \leqslant M,

в предположении, что переменные $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ подчинены условию $T_{n}(1)=1$ . Равенство может быть достигнуто лишь в том случае, если $f(\vartheta )=\text{const.}$ у каждой точки непрерывности.

Задача 7.69

Вычислить определитель $D_{n}(f)$ формы $T_{n}(f)$ для функций задачи 67 и показать, что если $f(\vartheta )$ всюду положительна, то

\lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n+1]{D_{n}(f)}=e^{\frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } \ln f(\vartheta ) d \vartheta }=\mathfrak {G}(f) .

Примечание.

По поводу 69--71 см. G. Szegö, Math. Ann., т. 76, стр. 490--503, 1915; Math. és term. ért., т. 35, стр. 185--222, 1917; Math. Zeitschr., т. 6, стр. 167--202, 1920.

Задача 7.70

Пусть $f(\vartheta )$ — тригонометрический полином первого порядка и $h$ — параметр. Показать, что определитель $D_{n}(f-h)$ формы Тёплица $T_{n}(f-h)$ , принадлежащей функции $f(\vartheta )-h$ , представляет собой целую рациональную функцию $(n+1)$ -й степени от $h$ , имеющую лишь вещественные нули. Вычислить эти нули.

Задача 7.71

Все нули $h_{0 n}, h_{1 n}, \ldots , h_{n n}$ определителя $D_{n}(f-h)$ расположены между минимумом и максимумом функции $f(\vartheta )$ , т. е. если $m \leqslant f(\vartheta ) \leqslant M$ в интервале $[0,2 \pi ]$ , то также $m \leqslant h_{\nu n} \leqslant M$ $(\nu =0,1,2, \ldots , n)$ . Далее, для любой функции $F(h)$ , собственно интегрируемой в интервале $m \leqslant h \leqslant M$ , имеет место соотношение

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{F\left(h_{0 n}\right)+F\left(h_{1 n}\right)+\ldots +F\left(h_{n n}\right)}{n+1}=\frac{1}{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } F[f(\vartheta )] d \vartheta .

Примечание.

Продолжение задачи 70.

Задача 7.72

Если эрмитова форма

\sum _{\lambda =0}^{n} \sum _{\mu =0}^{n} c_{\lambda -\mu } x_{\lambda } \bar{x}_{\mu } \quad \left(c_{-\nu }=\bar{c}_{\nu }\right)

положительно определенная, то все нули полинома

\begin{vmatrix} c_{0} & c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} \\ c_{-1} & c_{0} & c_{1} & \ldots & c_{n-1} \\ c_{-2} & c_{-1} & c_{0} & \ldots & c_{n-2} \\ \hdotsfor {5} \\ c_{-n+1} & c_{-n+2} & c_{-n+3} & \ldots & c_{1} \\ 1 & z & z^{2} & \ldots & z^{n} \end{vmatrix}

лежат внутри единичного круга.