7.4

Разные задачи

[17/82%]
Показать
LaTeX
Задача 7.44

Будем рассматривать n2n^{2} элементов aλμa_{\lambda \mu } определителя nn-го порядка как независимые переменные. Показать, что между n!n! слагаемыми ±a1k1a2k2…ankn\pm a_{1 k_{1}} a_{2 k_{2}} \ldots a_{n k_{n}} в разложении определителя имеется лишь N=n2−2n+2N=n^{2}-2 n+2 независимых между собой, и указать NN таких членов, через которые все остальные могут быть выражены рационально.

?
Примечание.
?

I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 19, стр. 276, 1912. Решение — G. Pólya, там же, серия 3, т. 24, стр. 369, 1916.

Задача 7.45

Обозначим через sn′s_{n}^{\prime } число отличных друг от друга положительных слагаемых в разложении симметрического определителя nn-го порядка (с произвольными элементами), а через sn′′s_{n}^{\prime \prime } — соответствующее число отрицательных слагаемых. Для sn=sn′+sn′′s_{n}=s_{n}^{\prime }+s_{n}^{\prime \prime } уже Кэли указал рекуррентную формулу

sn+1=(n+1)sn−(n2)sn−2. s_{n+1}=(n+1) s_{n}-\binom {n}{2} s_{n-2} .

Показать, что для dn=sn′−sn′′d_{n}=s_{n}^{\prime }-s_{n}^{\prime \prime } имеет место рекуррентная формула

dn+1=−(n−1)dn−(n2)dn−2 d_{n+1}=-(n-1) d_{n}-\binom {n}{2} d_{n-2}

и что

lim⁡n→∞n12snn!=e34π,lim⁡n→∞(−1)n−1n32dnn!=e−342π. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{n^{\frac{1}{2}} s_{n}}{n!}=\frac{e^{\frac{3}{4}}}{\sqrt{\pi }}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{(-1)^{n-1} n^{\frac{3}{2}} d_{n}}{n!}=\frac{e^{-\frac{3}{4}}}{2 \sqrt{\pi }} .
?
Примечание.
?

I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27, стр. 162, 1918.

Задача 7.46

Обозначим через σn′\sigma_{n}^{\prime } число отличных друг от друга положительных слагаемых в разложении симметрического определителя nn-го порядка ∣aλμ∣\left|a_{\lambda \mu }\right|, у которого все элементы главной диагонали aλλa_{\lambda \lambda } равны нулю, а через σn′′\sigma_{n}^{\prime \prime } — соответствующее число отрицательных слагаемых. Положим

σn=σn′+σn′′,δn=σn′−σn′′. \sigma _{n}=\sigma _{n}^{\prime }+\sigma _{n}^{\prime \prime }, \quad \delta _{n}=\sigma _{n}^{\prime }-\sigma _{n}^{\prime \prime } .

Тогда

σn+1=nσn+nσn−1−(n2)σn−2,δn+1=−nδn−nδn−1−(n2)δn−2 \sigma _{n+1}=n \sigma _{n}+n \sigma _{n-1}-\binom {n}{2} \sigma _{n-2}, \quad \delta _{n+1}=-n \delta _{n}-n \delta _{n-1}-\binom {n}{2} \delta _{n-2}

и

lim⁡n→∞n12σnn!=e−14π,lim⁡n→∞(−1)n−1n32δnn!=e142π. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{n^{\frac{1}{2}} \sigma _{n}}{n!}=\frac{e^{-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi }}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{(-1)^{n-1} n^{\frac{3}{2}} \delta _{n}}{n!}=\frac{e^{\frac{1}{4}}}{2 \sqrt{\pi }} .
?
Примечание.
?

I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27, стр. 163, 1918.

Задача 7.46.1

Пусть прописные буквы A,B,…,I,…,ZA, B, \ldots , I, \ldots , Z обозначают матрицы размера n×nn \times n. В частности, пусть II обозначает единичную матрицу, у которой по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны 00, а ZZ — матрицу, все элементы которой равны 11. Показать, что

Z⋅Z=n⋅Z. Z \cdot Z = n \cdot Z.
?
Задача 7.46.2

(Продолжение.) Если все элементы матрицы AA — положительные числа,

A⋅B=I, A \cdot B = I,

и n>1n > 1, то среди элементов матрицы BB имеется по меньшей мере nn положительных и по меньшей мере nn отрицательных чисел.

Доказать это и показать на примерах, что обе границы для числа положительных элементов, nn и n2−nn^{2} - n, достижимы.

?
Задача 7.47

Обозначим произведение ∏j<k1,2,…,n(xj−xk)\prod_{j<k}^{1,2, \ldots , n}\left(x_{j}-x_{k}\right) через Δ\Delta. Тогда, как известно, выражение вида

Φ=1Δ∑±φ(xλ1,xλ2,…,xλn), \Phi =\frac{1}{\Delta } \sum \pm \varphi \left(x_{\lambda _{1}}, x_{\lambda _{2}}, \ldots , x_{\lambda _{n}}\right),

где сумма распространена на все n!n! перестановок из 1,2,…,n1,2, \ldots , n и для четных перестановок берется знак плюс, а для нечетных — минус, будет симметрической функцией от x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}. Показать, что если

φ=∏ν=1n11−x1x2…xν, \varphi =\prod _{\nu =1}^{n} \frac{1}{1-x_{1} x_{2} \ldots x_{\nu }},

то тогда

Φ=1∏ν=1n(1−xν)∏j>k1,2,…,n(1−xjxk). \Phi =\frac{1}{\prod _{\nu =1}^{n}\left(1-x_{\nu }\right) \prod _{j>k}^{1,2, \ldots , n}\left(1-x_{j} x_{k}\right)} .
?
Примечание.
?

I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27, стр. 163, 1918.

Задача 7.48

Пусть характеристическое уравнение системы n2n^{2} величин aλμa_{\lambda \mu }

χ(z)=∣a11−za12…a1na21a22−z…a2n\hdotsfor4an1an2…ann−z∣=0 \chi (z)= \begin{vmatrix} a_{11}-z & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22}-z & \ldots & a_{2 n} \\ \hdotsfor {4} \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}-z \end{vmatrix}=0

имеет корни α1,α2,…,αn\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}, не все равные нулю. Обозначим через χλμ(z)\chi_{\lambda \mu }(z) алгебраические дополнения элементов определителя χ(z)\chi (z). Доказать, что характеристическое уравнение величин χλμ(z)\chi_{\lambda \mu }(z) имеет корни

ζρ=χ(z)αρ−z(ρ=1,2,…,n). \zeta _{\rho }=\frac{\chi (z)}{\alpha _{\rho }-z} \quad (\rho =1,2, \ldots , n) .
?
Примечание.
?

P. Epstein, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 8, стр. 262, 1905.

Задача 7.49

Линейные преобразования

Sα:yp=sin⁡απn+1∑q=0nxqsin⁡πn+1(p−q+α)(p=0,1,…,n), S_{\alpha }: \quad y_{p}=\frac{\sin \alpha \pi }{n+1} \sum _{q=0}^{n} \frac{x_{q}}{\sin \frac{\pi }{n+1}(p-q+\alpha )} \quad (p=0,1, \ldots , n),

где α\alpha произвольно, образуют группу в том смысле, что

SαSβ=Sα+β. S_{\alpha } S_{\beta }=S_{\alpha +\beta } .
?
Примечание.
?

M. Riesz.

Задача 7.50

Пусть g(ϑ)g(\vartheta ) — тригонометрический полином с вещественными коэффициентами порядка не выше nn. Указать, каким условиям он должен удовлетворять, чтобы линейные преобразования

Sα:yp=∑q=0nxqg(πn+1(p−q+α))(p=0,1,…,n), S_{\alpha }: \quad y_{p}=\sum _{q=0}^{n} x_{q} g\left(\frac{\pi }{n+1}(p-q+\alpha )\right) \quad (p=0,1, \ldots , n),

где α\alpha произвольно, образовывали группу в смысле задачи 49.

?
Задача 7.51

Определитель преобразования SαS_{\alpha } тождественно равен нулю, за тем единственным исключением, когда

g(ϑ)=1n+1sin⁡(n+1)ϑsin⁡ϑ[49] g(\vartheta )=\frac{1}{n+1} \frac{\sin (n+1) \vartheta }{\sin \vartheta } \quad \text{[49]}

в этом случае он тождественно равен единице.

?
Примечание.
?

Продолжение задачи 50.

Задача 7.52

Преобразование SαS_{\alpha } ортогонально, т. е. тождественно для всех x0,x1,x2,…,xnx_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}

y02+y12+y22+…+yn2=x02+x12+x22+…+xn2. y_{0}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2} .
?
Примечание.
?

Продолжение задачи 49.

Задача 7.53

Числа Фибоначчи 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,…0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, \ldots определяются условиями u0=0u_{0}=0, u1=1u_{1}=1, un+un+1=un+2u_{n}+u_{n+1}=u_{n+2} (n=0,1,2,…)(n=0,1,2, \ldots ). Показать, что линейное преобразование

yn=u1x1+u2x2+…+unxn−unxn+1unun+2(n=1,2,3,…) y_{n}=\frac{u_{1} x_{1}+u_{2} x_{2}+\ldots +u_{n} x_{n}-u_{n} x_{n+1}}{\sqrt{u_{n} u_{n+2}}} \quad (n=1,2,3, \ldots )

ортогонально.

?
Примечание.
?

I. Schur.

Задача 7.54

Линейное преобразование

ym=sin⁡αππ∑n=−∞∞xnm+n−α(m=…,−2,−1,0,1,2,…), y_{m}=\frac{\sin \alpha \pi }{\pi } \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{x_{n}}{m+n-\alpha } \quad (m=\ldots ,-2,-1,0,1,2, \ldots ),

где α\alpha — не целое вещественное число, ортогонально.

?
Примечание.
?

E. C. Titchmarch, Proc. Lond. M. Soc. (2), т. 22, вып. 5, III, 1924.

Задача 7.54.1

В задачах 54.1--54.4 мы рассматриваем бесконечные треугольные матрицы

(a11a21a22a31a32a33\multicolumn4c\dotfill), \begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix},

причем подразумевается, что все элементы выше главной диагонали равны 00. Равенство между такими матрицами считается верным тогда и только тогда, когда оно верно для соответствующих подматриц с n2n^{2} элементами, получаемых вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме первых nn, при n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \ldots.

Доказать соотношение, содержащее биномиальные коэффициенты,

(1111211331\multicolumn4c\dotfill)(1−111−21−13−31\multicolumn4c\dotfill)=(1010010001\multicolumn4c\dotfill). \begin{pmatrix} 1 & & & \\ 1 & 1 & & \\ 1 & 2 & 1 & \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & & & \\ -1 & 1 & & \\ 1 & -2 & 1 & \\ -1 & 3 & -3 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}.
?
Задача 7.54.2

Доказать соотношение, содержащее числа Стирлинга skns_{k}^{n} и SknS_{k}^{n} первого и второго рода соответственно (см. введения к задачам 197 и 186 части I),

(1111311761\multicolumn4c\dotfill)(1−112−31−611−61\multicolumn4c\dotfill)=(1010010001\multicolumn4c\dotfill). \begin{pmatrix} 1 & & & \\ 1 & 1 & & \\ 1 & 3 & 1 & \\ 1 & 7 & 6 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & & & \\ -1 & 1 & & \\ 2 & -3 & 1 & \\ -6 & 11 & -6 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \multicolumn {4}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}.

Иными словами, матрицы (Skn)(S_{k}^{n}) и ((−1)n−kskn)((-1)^{n-k} s_{k}^{n}) взаимно обратны.

?
Задача 7.54.3

Доказать, что

(11−11−211−33−11−46−41\multicolumn5c\dotfill)2=(101001000100001\multicolumn5c\dotfill). \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ 1 & -1 & & & \\ 1 & -2 & 1 & & \\ 1 & -3 & 3 & -1 & \\ 1 & -4 & 6 & -4 & 1 \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ 0 & 1 & & & \\ 0 & 0 & 1 & & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \end{pmatrix}.
?
Примечание.
?

Ср. задачу 34.1 части I и задачу 54.1.

Задача 7.54.4

Обобщая задачу 54.3, найти все бесконечные последовательности чисел a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots такие, что система соотношений

yn=anx0−(n1)an−1x1+(n2)an−2x2−⋯+(−1)na0xn,n=0,1,2,3,…, y_{n} = a_{n} x_{0} - \binom {n}{1} a_{n-1} x_{1} + \binom {n}{2} a_{n-2} x_{2} - \cdots + (-1)^{n} a_{0} x_{n}, \qquad n = 0, 1, 2, 3, \ldots ,

влечет за собой ту же систему с переменой ролей xx и yy, т. е.

xn=any0−(n1)an−1y1+(n2)an−2y2−⋯+(−1)na0yn x_{n} = a_{n} y_{0} - \binom {n}{1} a_{n-1} y_{1} + \binom {n}{2} a_{n-2} y_{2} - \cdots + (-1)^{n} a_{0} y_{n}

при n=0,1,2,3,…n = 0, 1, 2, 3, \ldots.

?
Примечание.
?

См. задачу 34.1 части I.