Вычисление определителей. Решение линейных уравнений

Перенумеруем $n$ вершин многогранника в некотором определенном порядке и зададим затем определитель $n$-го порядка $\left|a_{\lambda \mu }\right|$ следующими условиями:

Если $\lambda$-я и $\mu$-я вершины многогранника представляют собой концы одного и того же ребра, то $a_{\lambda \mu }=a_{\mu \lambda }=1$.

Если же отрезок, соединяющий $\lambda$-ю и $\mu$-ю вершины, не является ребром многогранника, то $a_{\lambda \mu }=0$. В частности, $a_{\lambda \lambda }=0$ для всех $\lambda$.

Показать, что значение этого определителя не зависит от порядка нумерации вершин. Составить и вычислить указанные определители для тетраэдра, гексаэдра (т. е. куба) и октаэдра.

(Продолжение.) Если в каждой вершине сходится ровно $p$ ребер, то определитель делится на $p$.

Вычислить

Доказать тождество

Обозначим определитель квадратичной формы

через $D_{n}$. Показать, что

Вычислить, кроме того, определитель $D_{n}(\alpha )$ квадратичной формы

Посредством преобразования определителя $\left|F\left(\alpha_{\lambda } \beta_{\mu }\right)\right|$ свести доказательство теоремы V 86 к теореме V 48.

Пусть $f(x)=\left(r_{1}-x\right)\left(r_{2}-x\right) \ldots \left(r_{n}-x\right)$. Показать, что

Положим $\Delta =a d-b c$. Тогда

где стоящее слева выражение означает функциональный определитель Якоби.

Доказать, что выражение

делится на $\rho -2$. Определить остальные множители.

Определитель

как знакопеременная целая рациональная функция $n$ чисел $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ делится во всяком случае на произведение

Показать, что частное от деления определителя на это произведение равно $q$-й элементарной симметричной функции $n$ чисел $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$.

Пусть числа $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ все отличны от нуля. Показать, что при любом $z$ имеет место тождество

Пусть $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots$ — постоянные, $z$ — переменная. Предположим, что $a_{0} \neq 0$ и что тождественно

Тогда

(Это дает способ вычисления ряда, обратного данному степенному ряду. Предполагаемое тождество может быть чисто формальным; никаких соображений о сходимости здесь не требуется.)

Вычислить коэффициент при $z^{n}$ в разложении $[(1+z)^{a} - xz]^{-1}$ сначала по задаче 11.1, а затем непосредственно.

Аналогично задаче 11.2 вычислить коэффициент при $z^{n}$ в разложении $[e^{z} - xz]^{-1}$.

Система уравнений

где $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, c$ — вещественные числа, совместна в двух различных случаях. При этом в одном случае неизвестные $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ совершенно неопределенны, во втором должны иметь совершенно определенные значения.

Пусть целая функция

имеет лишь различные между собой нули $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$,

Рассмотрим систему $n$ уравнений

которыми вполне определяются $u_{k}^{(n)}$. Показать, что при сходимости ряда $\frac{1}{\left|a_{1}\right|}+\frac{1}{\left|a_{2}\right|}+\ldots +\frac{1}{\left|a_{n}\right|}+\ldots$ предел $\lim_{n \rightarrow \infty } u_{k}^{(n)}$ существует, однако не обязательно равен $c_{k}$. ($u_{1}=c_{1}, u_{2}=c_{2}, \ldots$ является одним из решений бесконечной системы

Пусть в системе уравнений

коэффициенты и неизвестные представляют собой комплексные числа

где $a_{\lambda \mu }, b_{\lambda \mu }, x_{\mu }, y_{\mu }$ вещественны. Чтобы эти уравнения допускали не только тривиальное нулевое решение

т. е.

необходимо и достаточно, чтобы определитель $\left|c_{\lambda \mu }\right|_{1}^{n}$ был равен нулю. Это дает два уравнения между $2 n^{2}$ вещественными величинами $a_{\lambda \mu }, b_{\lambda \mu }$. С другой стороны, заданные уравнения можно представить в виде системы $2 n$ однородных линейных уравнений с $2 n$ вещественными неизвестными. Но тогда необходимым и достаточным условием наличия нетривиального решения будет являться обращение в нуль некоторого вещественного определителя, что дает одно уравнение между $a_{\lambda \mu }, b_{\lambda \mu }$. Как согласовать между собой эти два результата?

Все шесть членов в разложении определителя третьего порядка не могут быть одновременно положительны.

Правило разложения определителя состоит из двух частей: первая часть указывает, из каких элементов составляются произведения, тогда как второй частью определяются знаки перед произведениями, образованными указанным образом.

В случае определителей второго порядка вторую часть можно представить в виде следующего простого правила:

Каждому из элементов

мы сопоставляем соответственно знак

Тогда каждый элемент произведения, составленного согласно первой части правила, нужно взять с соответствующим знаком.

Показать теперь, что аналогичное правило для определителей выше чем второго порядка невозможно; иными словами, невозможно $n^{2}$ элементам определителя так поставить в соответствие $n^{2}$ фиксированных знаков, чтобы у всех произведений, составленных согласно первой части общего правила разложения, но с учетом соответствующих знаков, получался в итоге надлежащий знак.