7.3

Образование положительных квадратичных форм

[11/100%]
Показать
LaTeX
Задача 7.35

Если квадратичные формы

∑λ=1n∑μ=1naλμxλxμ и ∑λ=1n∑μ=1nbλμxλxμ \sum _{\lambda =1}^{n} \sum _{\mu =1}^{n} a_{\lambda \mu } x_{\lambda } x_{\mu } \quad \text{ и } \quad \sum _{\lambda =1}^{n} \sum _{\mu =1}^{n} b_{\lambda \mu } x_{\lambda } x_{\mu }

положительны, то квадратичная форма

∑λ=1n∑μ=1naλμbλμxλxμ \sum _{\lambda =1}^{n} \sum _{\mu =1}^{n} a_{\lambda \mu } b_{\lambda \mu } x_{\lambda } x_{\mu }

точно так же положительна. Если, кроме того, одна из этих двух форм является определенной, а в матрице другой элементы главной диагонали отличны от нуля, то третья также будет определенной.

?
Примечание.
?

I. Schur, J. für Math., т. 140, стр. 14, 1911.

Задача 7.36

Рассмотрим симметрические матрицы

(a11a12…a1na21a22…a2n\hdotsfor4an1an2…ann),(ea11ea12…ea1nea21ea22…ea2n\hdotsfor4ean1ean2…eann) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \hdotsfor {4} \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} e^{a_{11}} & e^{a_{12}} & \ldots & e^{a_{1 n}} \\ e^{a_{21}} & e^{a_{22}} & \ldots & e^{a_{2 n}} \\ \hdotsfor {4} \\ e^{a_{n 1}} & e^{a_{n 2}} & \ldots & e^{a_{n n}} \end{pmatrix}

Если квадратичная форма, определяемая матрицей (aλμ)\left(a_{\lambda \mu }\right), положительна, то положительной будет и форма, определяемая матрицей (eaλμ)\left(e^{a_{\lambda \mu }}\right). Если, кроме того, в матрице (aλμ)\left(a_{\lambda \mu }\right) нет тождественно совпадающих строк, то форма, определяемая матрицей (eaλμ)\left(e^{a_{\lambda \mu }}\right), будет даже определенной. [V 76.]

?
Задача 7.37

Пусть степенной ряд

p0+p1x+p2x2+…=F(x), p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+\ldots =F(x),

имеющий неотрицательные коэффициенты, сходится при x=a11,a12,…,annx=a_{11}, a_{12}, \ldots , a_{n n}. Если квадратичная форма, определяемая симметрической матрицей nn-го порядка (aλμ)\left(a_{\lambda \mu }\right), положительна, то положительной также будет форма, принадлежащая матрице (F(aλμ))\left(F\left(a_{\lambda \mu }\right)\right); если, кроме того, между коэффициентами p0,p2,p4,…p_{0}, p_{2}, p_{4}, \ldots имеется по крайней мере nn отличных от нуля, а все строки матрицы (aλμ2)\left(a_{\lambda \mu }^{2}\right) различны, то последняя форма будет даже определенной.

?
Задача 7.38

Пусть вещественные числа a0,a1,a2,…,a2na_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{2 n} обладают следующим свойством: для любого полинома f(x)f(x) степени не выше 2n2 n, неотрицательного и не равного тождественно нулю, имеет место неравенство

a0f(x)+a11!f′(x)+a22!f′′(x)+…+a2n(2n)!f(2n)(x)⩾0 (соотв. >0) a_{0} f(x)+\frac{a_{1}}{1!} f^{\prime }(x)+\frac{a_{2}}{2!} f^{\prime \prime }(x)+\ldots +\frac{a_{2 n}}{(2 n)!} f^{(2 n)}(x) \geqslant 0 \quad \text{ (соотв. }>0)

при всех значениях xx.

Показать, что необходимым и достаточным условием для этого является положительность (соотв. положительность и определенность) квадратичной формы

∑λ=0n∑μ=0naλ+μxλxμ. \sum _{\lambda =0}^{n} \sum _{\mu =0}^{n} a_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu } .
?
Примечание.
?

R. Remak, Math. Ann., т. 72, стр. 153, 1912; см. также A. Hurwitz, там же, т. 73, стр. 173, 1913.

Задача 7.39

Пусть числа a0,a1,…,ana_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n} (n⩾1)(n \geqslant 1) обладают следующим свойством: для любого полинома f(x)f(x) степени не выше nn, неотрицательного для неотрицательных значений xx и не равного тождественно нулю, имеет место неравенство

a0f(x)+a11!f′(x)+a22!f′′(x)+…+ann!f(n)(x)⩾0 (соотв. >0) a_{0} f(x)+\frac{a_{1}}{1!} f^{\prime }(x)+\frac{a_{2}}{2!} f^{\prime \prime }(x)+\ldots +\frac{a_{n}}{n!} f^{(n)}(x) \geqslant 0 \quad \text{ (соотв. }>0)

при любых неотрицательных значениях xx.

Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы квадратичные формы

∑λ=0[n2]∑μ=0[n2]aλ+μxλxμ,∑λ=0[n−12]∑μ=0[n−12]aλ+μ+1xλxμ \sum _{\lambda =0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \sum _{\mu =0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} a_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \sum _{\mu =0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} a_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu }

были обе положительны (соотв. положительно определенны).

?
Примечание.
?

См. G. Pólya, Math. és term. ért., т. 32, стр. 662--665, 1914.

Задача 7.40

Пусть числа a0,a1,a2,…,ana_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} (n⩾1)(n \geqslant 1) обладают следующим свойством: для всякого полинома f(x)f(x) степени ⩽n\leqslant n, неотрицательного в интервале −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1 и не равного тождественно нулю, выполняется неравенство

a0f(x)+a11!f′(x)+a22!f′′(x)+…+ann!f(n)(x)⩾0 a_{0} f(x)+\frac{a_{1}}{1!} f^{\prime }(x)+\frac{a_{2}}{2!} f^{\prime \prime }(x)+\ldots +\frac{a_{n}}{n!} f^{(n)}(x) \geqslant 0

при любых xx в интервале −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1. Показать, что тогда непременно

a0⩾0,a1=a2=…=an=0. a_{0} \geqslant 0, \quad a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=0 .
?
Задача 7.41

Пусть обе квадратичные формы

∑λ=0n∑μ=0naλ+μxλxμ,∑λ=0n∑μ=0nbλ+μxλxμ \sum _{\lambda =0}^{n} \sum _{\mu =0}^{n} a_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{n} \sum _{\mu =0}^{n} b_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }

положительны. Положим

cν=a0bν+(ν1)a1bν−1+(ν2)a2bν−2+…+aνb0. c_{\nu }=a_{0} b_{\nu }+\binom {\nu }{1} a_{1} b_{\nu -1}+\binom {\nu }{2} a_{2} b_{\nu -2}+\ldots +a_{\nu } b_{0} .

Тогда квадратичная форма

∑λ=0n∑μ=0ncλ+μxλxμ \sum _{\lambda =0}^{n} \sum _{\mu =0}^{n} c_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }

будет также положительной и притом определенной, если по крайней мере одна из данных форм определенная.

?
Примечание.
?

См. l. c. 39, стр. 665--667. См. также M. Fujiwara, Tôhoku Math. J., т. 6, стр. 20--26, 1914--1915.

Задача 7.42

Пусть

cν=a0bν+(ν1)a1bν−1+(ν2)a2bν−2+…+aνb0. c_{\nu }=a_{0} b_{\nu }+\binom {\nu }{1} a_{1} b_{\nu -1}+\binom {\nu }{2} a_{2} b_{\nu -2}+\ldots +a_{\nu } b_{0} .

Показать, что из положительности четырех квадратичных форм

∑λ=0m∑μ=0maλ+μxλxμ,∑λ=0m−1∑μ=0m−1aλ+μ+1xλxμ,∑λ=0m∑μ=0mbλ+μxλxμ,∑λ=0m−1∑μ=0m−1bλ+μ+1xλxμ \begin{aligned} & \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} a_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{m-1} \sum _{\mu =0}^{m-1} a_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu }, \\ & \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} b_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{m-1} \sum _{\mu =0}^{m-1} b_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu } \end{aligned}

вытекает положительность двух следующих:

∑λ=0m∑μ=0mcλ+μxλxμ,∑λ=0m−1∑μ=0m−1cλ+μ+1xλxμ. \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} c_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{m-1} \sum _{\mu =0}^{m-1} c_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu } .

Далее из положительности четырех форм

∑λ=0m∑μ=0maλ+μxλxμ,∑λ=0m∑μ=0maλ+μ+1xλxμ,∑λ=0m∑μ=0mbλ+μxλxμ,∑λ=0m∑μ=0mbλ+μ+1xλxμ \begin{array}{ll} \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} a_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, & \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} a_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu }, \\ \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} b_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, & \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} b_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu } \end{array}

вытекает положительность обеих форм

∑λ=0m∑μ=0mcλ+μxλxμ,∑λ=0m∑μ=0mcλ+μ+1xλxμ. \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} c_{\lambda +\mu } x_{\lambda } x_{\mu }, \quad \sum _{\lambda =0}^{m} \sum _{\mu =0}^{m} c_{\lambda +\mu +1} x_{\lambda } x_{\mu } .
?
Примечание.
?

См. l. c. 39, стр. 667--668.

Задача 7.43

Пусть комплексные числа c−n,c−n+1,…,c−1,c0,c1,…,cn−1,cnc_{-n}, c_{-n+1}, \ldots , c_{-1}, c_{0}, c_{1}, \ldots , c_{n-1}, c_{n}, c−ν=cˉνc_{-\nu }=\bar{c}_{\nu } (ν=0,1,2,…,n)(\nu =0,1,2, \ldots , n) обладают следующим свойством: если любой тригонометрический полином порядка не выше nn вида

g(ϑ)=α0+2(α1cos⁡ϑ+β1sin⁡ϑ+α2cos⁡2ϑ+β2sin⁡2ϑ+……+αncos⁡nϑ+βnsin⁡nϑ)=∑ν=−nnγνe−iνϑ(γν=γˉ−ν=αν+iβν,ν=0,1,2,…,n;β0=0) \begin{gathered} g(\vartheta )=\alpha _{0}+2\left(\alpha _{1} \cos \vartheta +\beta _{1} \sin \vartheta +\alpha _{2} \cos 2 \vartheta +\beta _{2} \sin 2 \vartheta +\ldots \\ \ldots +\alpha _{n} \cos n \vartheta +\beta _{n} \sin n \vartheta \right)=\sum _{\nu =-n}^{n} \gamma _{\nu } e^{-i \nu \vartheta } \\ \left(\gamma _{\nu }=\bar{\gamma }_{-\nu }=\alpha _{\nu }+i \beta _{\nu }, \quad \nu =0,1,2, \ldots , n ; \quad \beta _{0}=0\right) \end{gathered}

неотрицателен и не равен тождественно нулю, то имеет место неравенство

∑ν=−nncνγνe−iνϑ⩾0( соотв. >0). \sum _{\nu =-n}^{n} c_{\nu } \gamma _{\nu } e^{-i \nu \vartheta } \geqslant 0 \quad (\text{ соотв. }>0) .

Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы эрмитова форма

∑λ=0n∑μ=0ncμ−λxλxˉμ \sum _{\lambda =0}^{n} \sum _{\mu =0}^{n} c_{\mu -\lambda } x_{\lambda } \bar{x}_{\mu }

была положительной (соотв. положительно определенной).

?
Примечание.
?

См. O. Szász, Math. Zeitschr., т. 1, стр. 150--152, 1918.

Задача 7.43.1

Пусть G(z)G(z) — целая функция, принимающая вещественные значения при вещественных zz, причем G(0)=1G(0) = 1 и

−G′(z)G(z)=s1+s2z+s3z2+⋯+smzm−1+⋯ . -\frac{G'(z)}{G(z)} = s_{1} + s_{2} z + s_{3} z^{2} + \cdots + s_{m} z^{m-1} + \cdots .

Если G(z)G(z) имеет бесконечно много нулей, и все они вещественны, и если G(z)G(z) имеет вид, указанный в задаче 165 части V, то при n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \ldots

∣s2s3s4…sn+1s3s4s5…sn+2s4s5s6…sn+3\multicolumn5c\dotfillsn+1sn+2sn+3…s2n∣>0. \begin{vmatrix} s_{2} & s_{3} & s_{4} & \ldots & s_{n+1} \\ s_{3} & s_{4} & s_{5} & \ldots & s_{n+2} \\ s_{4} & s_{5} & s_{6} & \ldots & s_{n+3} \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \\ s_{n+1} & s_{n+2} & s_{n+3} & \ldots & s_{2n} \end{vmatrix} > 0.

(Если функция G(z)G(z) вида, указанного в задаче 165 части V, имеет лишь конечное число нулей, то лишь конечное число этих рекуррентных определителей может быть ≠0\neq 0 [задача 27].)

?
Задача 7.43.2

Пусть G(z)G(z) — целая функция вида, указанного в задаче 165 части V, но не вида eβze^{\beta z}, и

1G(z)=c0+c11!z+c22!z2+c33!z3+⋯ . \frac{1}{G(z)} = c_{0} + \frac{c_{1}}{1!} z + \frac{c_{2}}{2!} z^{2} + \frac{c_{3}}{3!} z^{3} + \cdots .

Тогда при n=0,1,2,…n = 0, 1, 2, \ldots

∣c0c1c2…cnc1c2c3…cn+1c2c3c4…cn+2\multicolumn5c\dotfillcncn+1cn+2…c2n∣>0. \begin{vmatrix} c_{0} & c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} & \ldots & c_{n+1} \\ c_{2} & c_{3} & c_{4} & \ldots & c_{n+2} \\ \multicolumn {5}{c}{\dotfill } \\ c_{n} & c_{n+1} & c_{n+2} & \ldots & c_{2n} \end{vmatrix} > 0.
?