7.2

Разложение рациональных функций в степенной ряд

[18/83%]
Показать
LaTeX
Задача 7.17

Пусть степенной ряд a0+a1z+a2z2+…a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots представляет рациональную функцию, у которой знаменатель имеет степень qq, а числитель — степень p−1p-1 (предполагается, что числитель и знаменатель — взаимно простые; степени — точные). Пусть, далее, d=Max⁡(0,p−q)d=\operatorname {Max}(0, p-q). Показать, что

Ad(q+1)=Ad+1(q+1)=Ad+2(q+1)=…=0. A_{d}^{(q+1)}=A_{d+1}^{(q+1)}=A_{d+2}^{(q+1)}=\ldots =0 .
?
Задача 7.18

Пусть d,qd, q — неотрицательные целые числа. Если

Ad(q)≠0,Ad+1(q)≠0,Ad+2(q)≠0,Ad+3(q)≠0,…,Ad(q+1)=0,Ad+1(q+1)=0,Ad+2(q+1)=0,…, \begin{array}{lccc} A_{d}^{(q)} \neq 0, & A_{d+1}^{(q)} \neq 0, & A_{d+2}^{(q)} \neq 0, & A_{d+3}^{(q)} \neq 0, \ldots , \\ & A_{d}^{(q+1)}=0, & A_{d+1}^{(q+1)}=0, & A_{d+2}^{(q+1)}=0, \ldots , \end{array}

то степенной ряд может быть представлен в виде отношения двух полиномов, из которых стоящий в знаменателе имеет степень qq, а в числителе — степень ⩽q+d−1\leqslant q+d-1.

?
Задача 7.19

An(r)An+2(r)−An(r+1)An+2(r−1)=(An+1(r))2A_{n}^{(r)} A_{n+2}^{(r)}-A_{n}^{(r+1)} A_{n+2}^{(r-1)}=\left(A_{n+1}^{(r)}\right)^{2}.

?
Примечание.
?

Kowalewski, стр. 80, 109.

Задача 7.20

Если

Am(q+1)=Am+1(q+1)=Am+2(q+1)=Am+3(q+1)=…=Am+t−1(q+1)=0, A_{m}^{(q+1)}=A_{m+1}^{(q+1)}=A_{m+2}^{(q+1)}=A_{m+3}^{(q+1)}=\ldots =A_{m+t-1}^{(q+1)}=0,

то tt определителей

Am+1(q),Am+2(q),Am+3(q),…,Am+t(q) A_{m+1}^{(q)}, \quad A_{m+2}^{(q)}, \quad A_{m+3}^{(q)}, \ldots , A_{m+t}^{(q)}

либо все одновременно равны нулю, либо все одновременно не равны нулю.

?
Задача 7.21

Если в треугольной схеме

A0(1)A1(1)A2(1)A3(1)A4(1)∗∗∗∗A0(2)A1(2)A2(2)∗∗∗∗∗A0(3)∗∗∗An+2(r−1)∗∗∗∗An(r)An+1(r)An+2(r)∗∗∗An(r+1)∗∗ \begin{array}{ccccccccc} A_{0}^{(1)} & A_{1}^{(1)} & A_{2}^{(1)} & A_{3}^{(1)} & A_{4}^{(1)} & * & * & * & * \\ & A_{0}^{(2)} & A_{1}^{(2)} & A_{2}^{(2)} & * & * & * & * & * \\ & & A_{0}^{(3)} & * & * & * & A_{n+2}^{(r-1)} & * & * \\ & & & * & * & A_{n}^{(r)} & A_{n+1}^{(r)} & A_{n+2}^{(r)} & * \\ & & & & * & * & A_{n}^{(r+1)} & * & * \end{array}

построить на произвольном элементе (определителе), как на вершине, открытый сверху прямой угол с вертикальной биссектрисой, то все определители, содержащиеся в этом угле, будут служить минорами определителя, находящегося в вершине.

?
Задача 7.22

Условимся говорить, что в схеме 21

An(r) и An+1(r) \begin{array}{lll} A_{n}^{(r)} & \text{ и } & A_{n+1}^{(r)} \end{array}

образуют горизонтальную пару,

An+1(r) и An(r+1) \begin{array}{lll} A_{n+1}^{(r)} & \text{ и } & A_{n}^{(r+1)} \end{array}

образуют вертикальную пару,

An(r) и An(r+1) \begin{array}{lll} A_{n}^{(r)} & \text{ и } & A_{n}^{(r+1)} \end{array}

образуют диагональную пару,

An+1(r) и An−1(r+1) \begin{array}{lll} A_{n+1}^{(r)} & \text{ и } & A_{n-1}^{(r+1)} \end{array}

образуют точно так же диагональную пару, накрест лежащую с An(r),An(r+1)A_{n}^{(r)}, A_{n}^{(r+1)}.

Показать, что

?
(1)

при обращении в нуль диагональной пары обращается в нуль и накрест лежащая с ней пара;

(2)

при обращении в нуль горизонтальной пары обращается также в нуль расположенная либо над, либо под ней горизонтальная пара;

(3)

при обращении в нуль вертикальной пары обращается также в нуль находящаяся либо слева, либо справа соседняя вертикальная пара.

Свойства 1), 2), 3) сохраняют силу также на наклонном крае схемы 21.

Примечание.
?

A. Stoll.

Задача 7.23

Если лишь конечное число определителей бесконечной последовательности

A0(k+1),A1(k+1),A2(k+1),…,An(k+1),… A_{0}^{(k+1)}, \quad A_{1}^{(k+1)}, \quad A_{2}^{(k+1)}, \ldots , A_{n}^{(k+1)}, \ldots

отлично от нуля, то степенной ряд a0+a1z+a2z2+…+anzn+…a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots представляет рациональную функцию, степень знаменателя которой не превосходит kk.

?
Примечание.
?

См. É. Borel, Bull. d. Sc. Math., серия 2, т. 18, стр. 22--25, 1894.

Задача 7.24

Если лишь конечное число определителей бесконечной последовательности

A0(1),A0(2),A0(3),…,A0(n),… A_{0}^{(1)}, \quad A_{0}^{(2)}, \quad A_{0}^{(3)}, \ldots , A_{0}^{(n)}, \ldots

отлично от нуля, то степенной ряд a0+a1z+a2z2+…+anzn+…a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots представляет рациональную функцию.

?
Примечание.
?

L. Kronecker, Monatsber. d. Akad. Berlin, 1881, стр. 566--567.

Задача 7.25

Если лишь конечное число определителей бесконечной схемы

A0(1),A1(2),A2(3),A3(4),…,An(n+1),…A1(1),A2(2),A3(3),…,An(n),… \begin{array}{rlllll} A_{0}^{(1)}, & A_{1}^{(2)}, & A_{2}^{(3)}, & A_{3}^{(4)}, \ldots , A_{n}^{(n+1)}, & \ldots \\ & A_{1}^{(1)}, & A_{2}^{(2)}, & A_{3}^{(3)}, \ldots , A_{n}^{(n)}, & \ldots \end{array}

отлично от нуля, то степенной ряд a0+a1z+a2z2+…+anzn+…a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots представляет рациональную функцию.

?
Примечание.
?

G. Pólya, Math. Ann., т. 77, стр. 507, 1916.

Задача 7.26

Показать, что указанные в задачах 23, 24, 25 достаточные условия рациональности функции, представляемой степенным рядом a0+a1z+a2z2+…+anzn+…a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots, являются также необходимыми.

?
Задача 7.27

Ранг матрицы H\mathfrak {H} конечен тогда и только тогда, когда степенной ряд a0+a1z+a2z2+…+anzn+…a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots представляет рациональную функцию.

?
Задача 7.28

Брутто-ранг матрицы H\mathfrak {H} равен порядку последнего не обращающегося в нуль определителя из бесконечной последовательности

A0(1),A0(2),A0(3),A0(4),… A_{0}^{(1)}, \quad A_{0}^{(2)}, \quad A_{0}^{(3)}, \quad A_{0}^{(4)}, \ldots

Пусть таковым является A0(p)A_{0}^{(p)}; тогда нетто-ранг равен порядку первого не равного нулю определителя из конечной последовательности

A1(p),A2(p−1),A3(p−2),…,Ap(1). A_{1}^{(p)}, \quad A_{2}^{(p-1)}, \quad A_{3}^{(p-2)}, \ldots , A_{p}^{(1)} .

(Если все эти pp определителей равны нулю, то и нетто-ранг равен нулю.)

?
Задача 7.29

Нетто-ранг матрицы H\mathfrak {H} в случае, если он конечен, равен степени знаменателя рациональной функции, представляемой рядом a0+a1z+a2z2+…+anzn+…a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots Эта рациональная функция будет правильной дробью тогда и только тогда, когда брутто-ранг равен нетто-рангу. Если брутто-ранг больше нетто-ранга, то он превосходит на единицу степень числителя. (Числитель и знаменатель рациональной функции предполагаются, конечно, взаимно простыми; степень числителя — точной.)

?
Задача 7.30

Функция, представляемая степенным рядом

a0+a1z1!+a2z22!+…+anznn!+…, a_{0}+\frac{a_{1} z}{1!}+\frac{a_{2} z^{2}}{2!}+\ldots +\frac{a_{n} z^{n}}{n!}+\ldots ,

тогда и только тогда удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, когда все определители

A0(1),A0(2),A0(3),…,A0(n),…, A_{0}^{(1)}, \quad A_{0}^{(2)}, \quad A_{0}^{(3)}, \ldots , A_{0}^{(n)}, \ldots ,

за исключением нескольких, равны нулю.

?
Примечание.
?

E. Beke, Math. és term. ért., т. 34, стр. 25, 1916.

Задача 7.31

Пусть Qn(z)Q_{n}(z) — полином nn-й степени, Qn(0)=1Q_{n}(0)=1 (n=0,1,2,…)(n=0,1,2, \ldots ). Положим для краткости

a0+a1z+a2z2+…=f(z),Qk(z)f(z)=□ka0+□ka1z+□ka2z2+…,Qk(z)Ql(z)f(z)=□k□la0+□k□la1z+□k□la2z2+… \begin{gathered} a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots =f(z), \quad Q_{k}(z) f(z)=\square _{k} a_{0}+\square _{k} a_{1} z+\square _{k} a_{2} z^{2}+\ldots , \\ Q_{k}(z) Q_{l}(z) f(z)=\square _{k} \square _{l} a_{0}+\square _{k} \square _{l} a_{1} z+\square _{k} \square _{l} a_{2} z^{2}+\ldots \end{gathered}

(□k□lan\square_{k} \square_{l} a_{n} есть однородное линейное выражение, составленное из an,an−1,an−2,…,an−k−la_{n}, a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots , a_{n-k-l}).

Показать, что

A0(n+1)=∣a0□1a1…□nan□1a1□1□1a2…□1□nan+1\hdotsfor4□nan□n□1an+1…□n□na2n∣. A_{0}^{(n+1)}= \begin{vmatrix} a_{0} & \square _{1} a_{1} & \ldots & \square _{n} a_{n} \\ \square _{1} a_{1} & \square _{1} \square _{1} a_{2} & \ldots & \square _{1} \square _{n} a_{n+1} \\ \hdotsfor {4} \\ \square _{n} a_{n} & \square _{n} \square _{1} a_{n+1} & \ldots & \square _{n} \square _{n} a_{2 n} \end{vmatrix} .
?
Примечание.
?

G. Pólya, Proc. Lond. M. S. (2), т. 21, стр. 25--26, 1922.

Задача 7.32

Пусть a0z+a1z2+a2z3+…\frac{a_{0}}{z}+\frac{a_{1}}{z^{2}}+\frac{a_{2}}{z^{3}}+\ldots будет степенное разложение рациональной функции со знаменателем zq−c1zq−1−c2zq−2−…−cqz^{q}-c_{1} z^{q-1}-c_{2} z^{q-2}-\ldots -c_{q}. Числитель и знаменатель предполагаются взаимно простыми. Показать, что матрицы

Am=(amam+1…am+q−1am+1am+2…am+q\hdotsfor4am+q−1am+q…am+2q−2),C=(0000…0cq1000…0cq−10100…0cq−20010…0cq−3\hdotsfor70000…1c1) \mathfrak {A}_{m}= \begin{pmatrix} a_{m} & a_{m+1} & \ldots & a_{m+q-1} \\ a_{m+1} & a_{m+2} & \ldots & a_{m+q} \\ \hdotsfor {4} \\ a_{m+q-1} & a_{m+q} & \ldots & a_{m+2 q-2} \end{pmatrix}, \quad \mathfrak {C}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & c_{q} \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & c_{q-1} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & c_{q-2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & c_{q-3} \\ \hdotsfor {7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & c_{1} \end{pmatrix}

связаны соотношением

Am=A0Cm(m=0,1,2,…). \mathfrak {A}_{m}=\mathfrak {A}_{0} \mathfrak {C}^{m} \quad (m=0,1,2, \ldots ) .
?
Задача 7.33

Если ранг матрицы системы конечного числа степенных рядов равен rr, то между этими рядами имеются rr линейно независимых, все же остальные линейно зависят от этих rr рядов.

?
Задача 7.34

Если нетто-ранг матрицы системы конечного числа степенных рядов равен rr, то между этими рядами имеются rr квази-линейно независимых, все же остальные квази-линейно зависят от указанных rr рядов.

?