Определители систем функций

При любых постоянных $c_{\lambda \mu }$

Показать, что

где в правой части надо подставить $y=\varphi (x)$.

$W\left(\varphi f_{1}, \varphi f_{2}, \ldots , \varphi f_{n}\right)=\varphi^{n} W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}\right)$.

$\frac{1}{f_{1}^{n}} W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n}\right)=W\left[\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{\prime },\left(\frac{f_{3}}{f_{1}}\right)^{\prime }, \ldots ,\left(\frac{f_{n}}{f_{1}}\right)^{\prime }\right]$.

Если $W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n-1}, f_{n}\right)$ обращается в нуль во всех точках интервала $(a, b)$, а $W\left(f_{1}, f_{2}, \ldots , f_{n-1}\right)$ — ни в одной, то можно указать $n-1$ таких постоянных $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n-1}$, чтобы во всем интервале $(a, b)$ соблюдалось тождество

Если $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)$ суть $n$ линейно независимых интегралов однородного линейного дифференциального уравнения $n$-го порядка

то для каждой функции $y$ имеет место соотношение

Положим

Тогда для всех функций $y$ имеет место соотношение

Это представление линейного дифференциального выражения, предполагающее знание $n$ независимых интегралов, имеет сходство с разложением на множители полинома $n$-й степени, предполагающим знание $n$ его нулей.

Пусть $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)$ — вещественные функции, непрерывные в интервале $a, b$. Показать, что определитель

неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда, когда между функциями $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)$ существует линейная зависимость.

Определитель

неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда, когда функции $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)$ отличаются друг от друга лишь постоянными множителями или, иными словами, все являются кратными одной из них.

Определитель

неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда, когда какие-нибудь две из функций $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots , f_{n}(x)$ тождественно совпадают.

Нижеследующая теорема представляет собой обобщение теоремы, упомянутой по одному поводу Гауссом в его «Theoria combinationis observationum» [Opera omnia, т. 4, стр. 12, см. две последние строки в Art. 11].

Пусть $f(x)$ для $x>0$ представляет собой функцию невозрастающую неотрицательную и вместе с тем не равную тождественно нулю. Пусть, далее, все числа $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ различны между собой. Показать, что (при допущении существования всех входящих интегралов) определитель

неотрицателен; он обращается в нуль тогда и только тогда, когда $f(x)$ представляет собой кусочно-постоянную функцию с не более чем $n-1$ точкой разрыва.

Образовать формы Тёплица, принадлежащие функциям $f(\vartheta )=c=\text{const.}$, $f(\vartheta )=a_{0}+2\left(a_{1} \cos \vartheta +b_{1} \sin \vartheta \right)$,

Если функция $f(\vartheta )$ положительна в интервале $0 \leqslant \vartheta <2 \pi$, то все формы Тёплица положительно определенны. Более точно: если $f(\vartheta )$ в интервале $0 \leqslant \vartheta <2 \pi$ заключена в границах $m \leqslant f(\vartheta ) \leqslant M$, то тогда и

в предположении, что переменные $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ подчинены условию $T_{n}(1)=1$. Равенство может быть достигнуто лишь в том случае, если $f(\vartheta )=\text{const.}$ у каждой точки непрерывности.

Вычислить определитель $D_{n}(f)$ формы $T_{n}(f)$ для функций задачи 67 и показать, что если $f(\vartheta )$ всюду положительна, то

Пусть $f(\vartheta )$ — тригонометрический полином первого порядка и $h$ — параметр. Показать, что определитель $D_{n}(f-h)$ формы Тёплица $T_{n}(f-h)$, принадлежащей функции $f(\vartheta )-h$, представляет собой целую рациональную функцию $(n+1)$-й степени от $h$, имеющую лишь вещественные нули. Вычислить эти нули.

Все нули $h_{0 n}, h_{1 n}, \ldots , h_{n n}$ определителя $D_{n}(f-h)$ расположены между минимумом и максимумом функции $f(\vartheta )$, т. е. если $m \leqslant f(\vartheta ) \leqslant M$ в интервале $[0,2 \pi ]$, то также $m \leqslant h_{\nu n} \leqslant M$ $(\nu =0,1,2, \ldots , n)$. Далее, для любой функции $F(h)$, собственно интегрируемой в интервале $m \leqslant h \leqslant M$, имеет место соотношение

Если эрмитова форма

положительно определенная, то все нули полинома

лежат внутри единичного круга.