Однолистные отображения

Если целая рациональная функция

однолистна в единичном круге $\left|z\right|<1$, то $n\left|a_{n}\right| \leqslant 1$.

Если функция $w=f(z)$ однолистно отображает единичный круг $\left|z\right|<1$ на область $\mathfrak {G}$ и $\varphi (w)$ однолистна в $\mathfrak {G}$, то $\varphi [f(z)]$ однолистна в $\left|z\right|<1$.

Пусть функция $f(z)$ однолистна в единичном круге $\left|z\right|<1$ и $f(0)=0$. Тогда функция

(где взята какая-нибудь определенная ветвь квадратного корня) также будет однолистна в $\left|z\right|<1$. То же самое справедливо для $\sqrt[n]{f\left(z^{n}\right)}$ при любом целом положительном $n$.

Функция $\varphi (z)$, определенная в задаче 79, является наиболее общей нечетной функцией, однолистной в единичном круге $\left|z\right|<1$. Точнее говоря: какова бы ни была нечетная функция $\varphi (z)$, однолистная в $\left|z\right|<1$, существует такая функция $f(z)$, однолистная в $\left|z\right|<1$, из которой $\varphi (z)$ получается указанным в 79 образом.

Пусть открытый круг $\mathfrak {K}$ взаимно однозначно и конформно отображается на область $\mathfrak {G}$, и при этом, в частности, содержащийся в $\mathfrak {K}$ концентрический круг $\mathfrak {k}$ отображается на некоторую часть $\mathfrak {g}$ области $\mathfrak {G}$. Обозначим площади соответствующих областей через $\left|\mathfrak {K}\right|$, $\left|\mathfrak {G}\right|$, $\left|\mathfrak {k}\right|$, $\left|\mathfrak {g}\right|$. Тогда

Пусть открытый круг $\mathfrak {K}$ взаимно однозначно и конформно отображается на область $\mathfrak {G}$, причем центр $\mathfrak {k}$ круга $\mathfrak {K}$ переходит в точку $\mathfrak {g}$ области $\mathfrak {G}$. Пусть $a^{2}$ — поверхностное искажение в $\mathfrak {k}$ [III, часть I, стр. 123]. Тогда (в обозначениях задачи 81)

Пусть открытое круговое кольцо $\mathfrak {R}$ однозначно и конформно отображается на двусвязную область $\mathfrak {S}$. Обозначим наименьший открытый круг, содержащий $\mathfrak {R}$, через $\mathfrak {K}$; точки этого круга, не принадлежащие $\mathfrak {R}$, заполняют некоторый замкнутый круг $\mathfrak {k}$. Аналогично через $\mathfrak {G}$ обозначим наименьшую односвязную область, содержащую $\mathfrak {S}$, и через $\mathfrak {g}$ — множество точек области $\mathfrak {G}$, не принадлежащих $\mathfrak {S}$ ($\mathfrak {g}$ замкнуто). Если окружности кольца $\mathfrak {R}$, концентрические с $\mathfrak {k}$ и $\mathfrak {K}$, и кривые области $\mathfrak {S}$, в которые переходят эти окружности при отображении, обходятся в одинаковом направлении, то для площадей $\left|\mathfrak {G}\right|$, $\left|\mathfrak {g}\right|$, $\left|\mathfrak {K}\right|$ и $\left|\mathfrak {k}\right|$ имеет место соотношение

Взаимно однозначное конформное отображение, при котором открытый круг преобразуется сам в себя с сохранением центра, представляет собой поворот около центра.

Пусть два открытых круговых кольца, ограниченных попарно концентрическими окружностями и имеющих общую внешнюю границу, взаимно однозначно и конформно отображаются друг на друга так, что при этом окружности, концентрической с граничной окружностью в одном кольце, соответствует в другом кольце кривая, обходимая в том же направлении. Тогда оба круговых кольца совпадают и конформное отображение представляет поворот около центра.

Не существует двух различных функций $w=f(z)$, однолистно отображающих единичный круг $\left|z\right|<1$ на заданную область $\mathfrak {G}$ так, что при этом $z=0$ переходит в заданную точку $w=w_{0}$ области $\mathfrak {G}$ и $f^{\prime }(0)>0$.

Единственными функциями, однолистно и конформно отображающими единичный круг $\left|z\right|<1$ сам на себя, являются линейные функции

где $\alpha$ вещественно, $\left|z_{0}\right|<1$.

При отображении, осуществляемом с помощью формулы

точке плоскости $z$ соответствуют, вообще говоря, две точки плоскости $w$. Какие точки $z$ составляют исключение?

Пусть $\mathfrak {G}$ — односвязная область плоскости $z$, лежащая в круге $\left|z\right|<1$ и содержащая точку $z=0$. Осуществим отображение задачи 88, принимая за $a$ ближайшую к $z=0$ точку на границе области $\mathfrak {G}$, $\left|a\right|<1$ (если таких точек не одна, то выбираем из них, скажем, точку с наименьшим аргументом, $0 \leqslant \arg a<2 \pi$). Тогда это отображение относит области $\mathfrak {G}$ две области $\mathfrak {G}^{*}$ и $\mathfrak {G}^{**}$ плоскости $w$, из которых одна, $\mathfrak {G}^{*}$, содержит точку $w=0$, а другая, $\mathfrak {G}^{**}$, ее не содержит. $\mathfrak {G}^{*}$ и $\mathfrak {G}^{**}$ не имеют общих точек, хотя и обладают по меньшей мере одной общей граничной точкой; обе они содержатся внутри единичного круга.

Исследовать область Кёбе для области, получаемой из единичного круга $\left|z\right|<1$ посредством удаления отрезка $a \leqslant z<1$, $0<a<1$. Определить, в частности, граничную точку, ближайшую к нулевой.

Исследовать область Кёбе для круга $\left|z\right|<a$, $0<a<1$ и определить ближайшую к нулевой и наиболее удаленную от нее граничные точки.

Каждая точка области Кёбе для $\mathfrak {G}$ более удалена от нулевой точки, чем соответствующая ей точка области $\mathfrak {G}$.

Пусть $\mathfrak {G}_{1}$ — область Кёбе для $\mathfrak {G}$, $\mathfrak {G}_{2}$ — область Кёбе для $\mathfrak {G}_{1}$, $\mathfrak {G}_{3}$ — для $\mathfrak {G}_{2}$ и т. д. Пусть далее $a, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ — ближайшие к нулевой граничные точки соответственно областей $\mathfrak {G}, \mathfrak {G}_{1}, \mathfrak {G}_{2}, \mathfrak {G}_{3}, \ldots$ Тогда $\left|a\right|<\left|a_{1}\right|<\left|a_{2}\right|<\left|a_{3}\right|<\ldots$

(Продолжение.) При помощи отображения Кёбе $\mathfrak {G}$ однозначно и конформно отображается на $\mathfrak {G}_{1}$, $\mathfrak {G}_{1}$ — на $\mathfrak {G}_{2}, \ldots$, $\mathfrak {G}_{n-1}$ — на $\mathfrak {G}_{n}$. Пусть результирующее отображение области $\mathfrak {G}$ на $\mathfrak {G}_{n}$ осуществляется посредством аналитической функции $f_{n}(z)$ ($z$ пробегает точки области $\mathfrak {G}$). Имеем

Выразить $f_{n}^{\prime }(0)$ через $a, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n-1}$.

Показать на основании 94, что для точек $a, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ задачи 93 имеет место предельное соотношение

(Продолжение задач 93, 94.) В каждой точке $z$ области $\mathfrak {G}$ существует

причем во всякой внутренней замкнутой области сходимость равномерна. Предельная функция $f(z)$ однолистно отображает область $\mathfrak {G}$ на внутреннюю область единичной окружности.

Вычислить внутренний радиус $r_{a}$ и внешний радиус $\bar{r}$ окружности $\left|z\right|=\rho$, $\rho >0$, $\left|a\right|<\rho$.

Вычислить внутренний радиус $r_{a}$ внешней круговой области $\left|z\right|>\rho$ ($a$ конечно, $\left|a\right|>\rho$), а также $\lim r_{a}$.

Вычислить $r_{a}$ для угла $0<\arg z<\vartheta_{0}$, $0<\vartheta_{0} \leqslant 2 \pi$.

При преобразованиях подобия $z^{\prime }=h z+k$ с отличным от нуля линейным искажением $\left|h\right|$ внешний, соотв. внутренний, радиус увеличивается в отношении $1:\left|h\right|$. Точнее: если область $\mathfrak {G}$ переходит в $\mathfrak {G}^{\prime }$, конечная точка $a$ — в $a^{\prime }=h a+k$, то между внутренним радиусом $r_{a}$ области $\mathfrak {G}$ относительно точки $a$ и внутренним радиусом $r_{a^{\prime }}$ области $\mathfrak {G}^{\prime }$ относительно точки $a^{\prime }$ имеет место следующее соотношение:

Аналогично для внешнего радиуса.

Внешний радиус отрезка длины $l$ дается равенством

Внешний радиус эллипса, оси которого в сумме составляют $l$, дается равенством

Вычислить внутренний радиус открытой полуплоскости относительно содержащейся в ней точки, отстоящей от границы на расстояние $d$.

Пусть $r_{a}$ — внутренний радиус области $\mathfrak {G}$ плоскости $z$ и однолистное отображение

преобразует $\mathfrak {G}$ в некоторую область $\mathfrak {G}^{\prime }$ плоскости $z^{\prime }$. Пусть, далее, $r_{b}^{\prime }$ — внутренний радиус области $\mathfrak {G}^{\prime }$ относительно точки $z^{\prime }=b$. Тогда

Аналогичное соотношение имеет место при отображении вида

Вычислить внешний радиус $\bar{r}$ кривой, составленной из окружности $\left|z\right|=1$ и вещественных отрезков

Вычислить внутренний радиус бесконечной параллельной полосы ширины $D$ относительно содержащейся в ней точки, кратчайшее расстояние которой до границы полосы равно $d$ $(2 d \leqslant D)$.

Пусть $a$ — любая конечная точка области $\mathfrak {G}$ плоскости $z$. Дробно-линейное преобразование $z^{\prime }=\frac{1}{z-a}$ переводит $\mathfrak {G}$ в область $\mathfrak {G}^{\prime }$, содержащую бесконечно удаленную точку. Показать, что внутренний радиус области $\mathfrak {G}$ относительно $a$ равен обратной величине внешнего радиуса области, дополнительной к $\mathfrak {G}^{\prime }$.

Рассмотрим область $\mathfrak {G}$, получающуюся при удалении из единичного круга $\left|z\right|<1$ вещественных отрезков $b_{1} \leqslant z<1$, $-1<z \leqslant -b_{2}$, $0<b_{1}<1$, $0<b_{2}<1$. Вычислить внутренний радиус области $\mathfrak {G}$ относительно нулевой точки.

Неравенства

выделяют в плоскости $z$ круговой двуугольник $K$; вершинами его служат $z_{1}$ и $z_{2}$, а стороны составляют между собой угол $\vartheta_{2}-\vartheta_{1}$. Чему равен внешний радиус области $K$? Рассмотреть случаи

Пусть $a$ и $b$ — точки области $\mathfrak {G}$, $f(z)$ — нормированная отображающая функция, соответствующая точке $b$. Тогда

Вычислить нормированную отображающую функцию плоскости, разрезанной вдоль прямой $\frac{1}{4} \leqslant z<+\infty$, относительно нулевой точки и исследовать изменение внутреннего радиуса $r_{a}$, когда $a$ пробегает все вещественные значения от $-\infty$ до $\frac{1}{4}$.

Пусть $L$ — замкнутая аналитическая кривая. (Следовательно, нормированная отображающая функция, соответствующая произвольной точке внутренней области кривой $L$, продолжаема за $L$ и в различных точках $L$ принимает различные значения.) Показать, что если точка $a$, заключающаяся во внутренней области кривой $L$, приближается к некоторой точке этой кривой, то внутренний радиус $r_{a}$ стремится к нулю.

Пусть в точке $a$ области $\mathfrak {G}$ внутренний радиус $r_{a}$ достигает относительного максимума. Показать, что тогда у нормированной отображающей функции

соответствующей точке $a$, коэффициент $c_{2}$ равен нулю.

Каково геометрическое место тех точек $a$ верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$, для которых внутренний радиус $r_{a}$ этой полуплоскости сохраняет постоянное значение?

Пусть $\mathfrak {G}$ — конечная область плоскости $z$, $a$ — произвольная точка этой области и $n$ — целое положительное число. Преобразование $z^{\prime }=\sqrt[n]{z-a}$ сопоставляет $\mathfrak {G}$ некоторую область $\mathfrak {G}^{\prime }$, «$n$-кратно симметричную» относительно нулевой точки. Точка $z^{\prime }$ тогда и только тогда принадлежит области $\mathfrak {G}^{\prime }$, когда $z^{\prime n}+a$ есть точка области $\mathfrak {G}$. Показать, что внутренний радиус $r_{a}$ области $\mathfrak {G}$ относительно точки $a$ и внутренний радиус $r_{0}^{\prime }$ области $\mathfrak {G}^{\prime }$ относительно точки $z^{\prime }=0$ связаны соотношением

Аналогичное соотношение имеет место для внешнего радиуса при преобразовании $z^{\prime }=\sqrt[n]{z}$, если $z=0$ не содержится в $\mathfrak {G}$.

Вычислить внутренний радиус $r_{a}$ плоскости $z$, разрезанной вдоль $n$ лучей

К какому пределу стремится $r_{a}$, когда $a$ приближается к концу соответствующего выреза вдоль отрезка

Вычислить внешний радиус плоскости, разрезанной вдоль отрезков

Пусть $\mathfrak {G}$ — произвольная область плоскости $z$ и $a$ — некоторая конечная точка этой области. Нормированная отображающая функция $f(z)$, соответствующая точке $a$, и внутренний радиус $r_{a}$ обладают следующим экстремальным свойством: среди всех функций вида

регулярных в области $\mathfrak {G}$, $f(z)$ обладает наименьшим максимумом модуля в $\mathfrak {G}$; этот «minimum maximorum» равен $r_{a}$. Точнее говоря: если $M$ — верхняя грань модуля $F(z)$ в области $\mathfrak {G}$, то

Равенство достигается только тогда, когда $F(z) \equiv f(z)$.

В случае, если $\mathfrak {G}$ содержит бесконечно удаленную точку, аналогичным свойством обладают отображающая функция, соответствующая бесконечно удаленной точке, и внешний радиус области, дополнительной к $\mathfrak {G}$; отображение на круг выделяется посредством «maximum minimorum».

Пусть $\mathfrak {G}$ — область, симметричная относительно вещественной оси, $a$ вещественно. Тогда в разложении по степеням $z-a$ нормированной отображающей функции, соответствующей $a$, все коэффициенты вещественны. Если $\mathfrak {G}$ содержит бесконечно удаленную точку, то аналогичным свойством обладает нормированная отображающая функция, соответствующая бесконечно удаленной точке.

Пусть $\mathfrak {G}$ — область, симметричная относительно нулевой точки. Тогда в степенном ряде для нормированной отображающей функции, соответствующей нулевой точке, содержатся только нечетные степени $z$. Если $\mathfrak {G}$ содержит бесконечно удаленную точку, то аналогичным свойством обладает нормированная отображающая функция, соответствующая бесконечно удаленной точке.

Пусть $\mathfrak {G}^{*}$ — правильная часть области $\mathfrak {G}$, $r_{a}$ и $r_{a}^{*}$ — внутренние радиусы областей $\mathfrak {G}$ и $\mathfrak {G}^{*}$ относительно одной и той же точки $a$, лежащей в $\mathfrak {G}^{*}$. Тогда

Аналогичное неравенство имеет место для внешних радиусов.

Пусть $\mathfrak {G}$ — произвольная область, $a$ — некоторая конечная точка этой области и $r$, соответственно $R$, — радиус наибольшей (соответственно наименьшей) окружности с центром в $a$, содержащейся в $\mathfrak {G}$ (соответственно содержащей $\mathfrak {G}$). Имеем $r>0$, $R \geqslant r$, $R$ конечно или бесконечно. Далее

причем равенство имеет место только тогда, когда $\mathfrak {G}$ — открытый круг с центром $a$.

Пусть область $\mathfrak {G}$ содержит бесконечно удаленную точку и $b$ — точка дополнительной области $\mathfrak {B}$. Обозначим через $r$, соотв. $R$, радиус наибольшего, соотв. наименьшего, замкнутого круга с центром в $a$, содержащегося в $\mathfrak {B}$, соотв. содержащего $\mathfrak {B}$. Имеем $r \geqslant 0$, $R \geqslant r$, $R$ конечно. Далее

причем равенство имеет место только тогда, когда $\mathfrak {B}$ — замкнутый круг.

Пусть $l$ — длина замкнутой простой непрерывной кривой $L$. Показать, что для всякой точки $a$, лежащей во внутренней области кривой $L$,

Равенство имеет место только для окружностей с центром в $a$. Аналогичное неравенство имеет место для внешнего радиуса.

Пусть $l$ — длина периметра эллипса с неравными полуосями $a$ и $b$. Дать два различных доказательства (с применением конформного отображения и без него) неравенства

Пусть $l$ — длина периметра эллипса с неравными полуосями $a$ и $b$. Дать два различных доказательства (с применением конформного отображения и без него) неравенства

Пусть область $\mathfrak {G}$ имеет внутреннюю жорданову меру $\left|\mathfrak {G}\right|_{i}$. Показать, что для любой конечной точки $a$, содержащейся в $\mathfrak {G}$,

Равенство имеет место лишь для круга $\left|z-a\right|<r_{a}$.

Пусть дополнение $\mathfrak {B}$ области $\mathfrak {G}$, содержащей бесконечно удаленную точку, имеет внешнюю жорданову меру $\left|\mathfrak {B}\right|_{e}$. Тогда

Равенство имеет место лишь в том случае, когда $\mathfrak {B}$ — круг.

Пусть замкнутая простая непрерывная кривая $L$ имеет внешний радиус $\bar{r}$ и внутренний радиус $r_{a}$, где $a$ — произвольная точка внутренней области кривой $L$. Тогда

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $L$ — окружность и $a$ — ее центр.

Пусть $L$ — замкнутая простая непрерывная кривая, охватывающая нулевую точку, $\bar{r}$ — ее внешний радиус и $r_{0}$ — внутренний радиус относительно нулевой точки. Пусть, далее, $P(z)$ — полином с младшим членом $a_{k} z^{k}$ и старшим членом $a_{n} z^{n}$:

и $M$ — максимум $\left|P(z)\right|$ на кривой $L$. Тогда

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $L$ — окружность с центром в нулевой точке и полином $P(z)$ имеет вид $c z^{n}$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна, имеет положительную вещественную часть внутри области, ограниченной замкнутой простой непрерывной кривой $L$, и непрерывна, включая границу. Если вещественная часть функции $f(z)$ обращается в нуль на некоторой дуге $L^{\prime }$ кривой $L$, то мнимая часть функции $f(z)$ монотонно убывает при положительном обходе дуги $L^{\prime }$.

Отобразим полосу $0<\mathrm{Im}\left(z\right)<D$ на круг $\left|w\right|<1$ таким образом, чтобы при этом точка $z=i$ переходила в центр круга $w=0$ $(D>1)$. Чему равна длина дуги окружности $\left|w\right|=1$, отвечающей при этом отображении вещественной оси $\mathrm{Im}\left(z\right)=0$? (При $D=2$ и $D=\infty$ тривиально.) Как изменяется указанная дуга при возрастании $D$?

Пусть замкнутые простые непрерывные кривые $L_{1}$ и $L_{2}$ имеют конечное число общих дуг и внутренняя область кривой $L_{1}$ содержится во внутренней области кривой $L_{2}$. ($L_{1}$ состоит из четного числа дуг, проходящих попеременно внутри и на границе области, ограничиваемой кривой $L_{2}$.)

Отобразим внутреннюю область кривой $L_{1}$, а затем кривой $L_{2}$ на одну и ту же внутреннюю круговую область так, чтобы в том и другом случае некоторая точка $O$, принадлежащая внутренней области кривой $L_{1}$, переходила в центр круга. Оба отображения сопоставляют дугам кривых $L_{1}$ и $L_{2}$ вполне определенные дуги граничной окружности [см. заключительное замечание определительного текста перед задачей 97].

Доказать, что длина дуги круга, соответствующей какой-либо общей дуге кривых $L_{1}$ и $L_{2}$, при отображении меньшей области (ограниченной $L_{1}$) будет меньше, чем при отображении большей (ограниченной $L_{2}$). Пример: 130.

Дать электростатическую интерпретацию теоремы 131.

Пусть замкнутые простые непрерывные кривые $L_{1}$ и $L_{2}$ имеют лишь конечное число общих точек и ограничиваемые ими области — общую часть $\mathfrak {S}$. Пусть далее $O$ — точка области $\mathfrak {S}$ и $\mathfrak {S}^{*}$ — связная часть области $\mathfrak {S}$, содержащая $O$. Дуги кривых $L_{1}$ и $L_{2}$, лежащие на границе $\mathfrak {S}^{*}$, назовем «видимыми» из $O$, не лежащие же на этой границе — «закрытыми». (Слова «видимые» и «закрытые» имеют обычный смысл, если кривые $L_{1}$ и $L_{2}$ звездообразны относительно $O$.)

Отобразим сначала внутреннюю область кривой $L_{1}$, а затем кривой $L_{2}$ на внутреннюю область единичного круга так, чтобы в обоих случаях $O$ переходила в центр круга. Тогда образы «видимых» частей кривой $L_{1}$ займут бо́льшую часть единичной окружности, чем образы «закрытых» частей кривой $L_{2}$. (Для большей наглядности представим себе $L_{2}$ в виде окружности с центром в $O$.)

Пусть $\mathfrak {B}$ — некоторая замкнутая область, $\zeta$ — ее внутренняя точка и $\mathfrak {K}$ — совокупность граничных точек области $\mathfrak {B}$, отстоящих от $\zeta$ на расстояние, не превышающее $\rho$. Пусть дуги окружности радиуса $\rho$ с центром в $\zeta$, не принадлежащие $\mathfrak {B}$, имеют общую длину $\rho \Omega$.

Пусть, далее, функция $f(z)$ регулярна и однозначна внутри и непрерывна на границе области $\mathfrak {B}$, причем в точках множества $\mathfrak {K}$ имеем $\left|f(z)\right| \leqslant a$, а в остальных граничных точках области $\mathfrak {B}$ $\left|f(z)\right| \leqslant A$, $a<A$. Тогда

Пусть односвязная область $\mathfrak {G}_{n}$ плоскости $z$ удовлетворяет следующим условиям:

1. $\mathfrak {G}_{n}$ лежит в круге $\left|z\right|<a$, $a>1$,

2. $\mathfrak {G}_{n}$ содержит круг $\left|z\right|<1$,

3. $\mathfrak {G}_{n}$ содержит дугу единичной окружности

   $$\left|z\right|=1, \quad -\alpha _{n}<\arg z<\alpha _{n} \quad \left(0<\alpha _{n}<\pi \right),$$

4. дополнительная дуга единичной окружности

   $$\left|z\right|=1, \quad \alpha _{n} \leqslant \arg z \leqslant 2 \pi -\alpha _{n}$$

   принадлежит границе области $\mathfrak {G}_{n}$. Пусть, далее, $\mathfrak {G}_{n}$ взаимно однозначно и конформно отображается с помощью функции $w=f_{n}(z)$ на единичный круг $\left|w\right|<1$ так, что при этом $f_{n}(0)=0$, $f_{n}^{\prime }(0)>0$.

Если при возрастании $n$ «перешеек», соединяющий единичный круг с остальной частью области $\mathfrak {G}_{n}$, все более и более стягивается, т. е. если $\lim_{n \rightarrow \infty } \alpha_{n}=0$, то

независимо от того, как ведет себя часть области $\mathfrak {G}_{n}$, лежащая за пределами единичного круга.

Пусть функция

регулярна во внешней круговой области $\left|z\right|>1$ и однолистно отображает эту область на область $\mathfrak {G}$, содержащую бесконечно удаленную точку. Тогда

В частности, $\left|b_{1}\right| \leqslant 1$, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mathfrak {G}$ представляет собой плоскость, разрезанную вдоль отрезка длины $4$.

(Продолжение.) Во внешней круговой области $\left|z\right|>1$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда функция $g(z)$ имеет вид

$(\left|\varepsilon \right|=1, \rho >1)$, и достигается в точке $\frac{\rho }{\varepsilon }$. Какой вид имеет в этом случае область $\mathfrak {G}$?

При отображении, указанном в задаче 136, все кривые плоскости $w$, соответствующие концентрическим окружностям радиуса больше единицы с центром в $z=0$, — так называемые линии уровня — имеют общий конформный центр тяжести $b_{0}$ [III 129]. Мы будем называть $b_{0}$ конформным центром тяжести области $\mathfrak {G}$.

Пусть односвязная область $\mathfrak {G}$ содержит бесконечно удаленную точку и симметрична относительно некоторой точки $P$. Тогда $P$ служит конформным центром тяжести области $\mathfrak {G}$.

(Продолжение задачи 136.) Если область $\mathfrak {G}$ не содержит нулевой точки, то конформный центр тяжести этой области лежит внутри круга радиуса $2$ с центром в нулевой точке. Иными словами,

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mathfrak {G}$ представляет собой плоскость, разрезанную вдоль отрезка длины $4$, выходящего из нулевой точки.

(Продолжение.) Расстояние $d$ произвольной граничной точки области $\mathfrak {G}$ от конформного центра тяжести не превосходит двух. Более того, для всех $\mathfrak {G}$, за исключением особого случая, указанного в конце задачи 136, $d<2$.

(Продолжение.) Максимальное расстояние $D$ между граничными точками области $\mathfrak {G}$ (диаметр границы области $\mathfrak {G}$) заключается между двумя и четырьмя:

Равенство в нижней оценке имеет место только тогда, когда $\mathfrak {G}$ представляет собой внешнюю область некоторого круга радиуса $1$, а в верхней оценке — когда $\mathfrak {G}$ есть плоскость с вырезом вдоль отрезка длины $4$ (см. задачу 136).

Среди всех непрерывных криволинейных дуг, соединяющих две неподвижные точки, наименьший внешний радиус имеет прямолинейный отрезок.

Пусть область $\mathfrak {G}$ задачи 136 имеет конформным центром тяжести $0$. Тогда

Равенство имеет место только для отображения $w=z+\frac{e^{i \alpha }}{z}$, $\alpha$ вещественно.

(Продолжение.) При указанном отображении ни одна точка $z$ не может сместиться со своего первоначального положения больше чем на $\frac{3}{\left|z\right|}$. Иными словами,

Исследовать смещение [144] при отображении внешней круговой области на плоскость, разрезанную вдоль подковообразной кривой, состоящей из трех прямолинейных отрезков, последовательно соединяющих точки

Рассмотреть, в частности, случай, когда $a \rightarrow 2$, $\delta \rightarrow 0$, и показать на этом примере, что коэффициент $3$ в неравенстве задачи 144 не может быть заменен меньшим.

Пусть функция

регулярна и однолистна в единичном круге $\left|z\right|<1$. Тогда

причем равенство имеет место лишь для функций вида

Пусть функция

однолистна в круге $\left|z\right|<R$. Если область $\mathfrak {G}$ плоскости $w$, на которую отображается этот круг, не содержит бесконечно удаленной точки, то она целиком содержит открытый круг $\left|w\right|<\frac{R}{4}$. Иными словами, обозначая через $d$ кратчайшее расстояние границы области $\mathfrak {G}$ от точки $w=0$, имеем $d \geqslant \frac{R}{4}$. Более того, $d>\frac{R}{4}$, если только $\mathfrak {G}$ не представляет собой плоскости, разрезанной вдоль луча $\arg w=\mathrm{const.}$, $\frac{R}{4} \leqslant \left|w\right|<+\infty$.

Неравенство задачи 147 можно уточнить следующим образом:

(См. 146.) Равенство достигается для области, указанной в 147.

(Продолжение задачи 147.) Отрезок, соединяющий две граничные точки области $\mathfrak {G}$ и проходящий через нулевую точку, мы будем называть главной хордой области $\mathfrak {G}$. Всякая главная хорда области $\mathfrak {G}$ имеет длину, не меньшую чем $R$. Указанная нижняя граница $R$ достигается лишь в том случае, когда область $\mathfrak {G}$ представляет собой плоскость, разрезанную вдоль обоих лучей $w= \pm \left|w\right| e^{i \alpha }$, $\alpha$ вещественно, $\frac{R}{2} \leqslant \left|w\right|<+\infty$. (116.)

(Продолжение задачи 146.) В единичном круге $\left|z\right|<1$ выполняется неравенство

Равенство имеет место только тогда, когда область, в которую отображается указанный круг, представляет собой плоскость с прямолинейным вырезом.

(Теорема Кёбе о линейном искажении, так называемый Verzerrungssatz.) Пусть функция

регулярна и однолистна в единичном круге $\left|z\right|<1$ и $r$ — положительное число, $r<1$. Тогда в круге $\left|z\right| \leqslant r$ имеют место неравенства

Равенство может достигаться только при отображениях вида