Теоремы единственности

Взаимно однозначное конформное отображение, при котором открытый круг преобразуется сам в себя с сохранением центра, представляет собой поворот около центра.

Пусть два открытых круговых кольца, ограниченных попарно концентрическими окружностями и имеющих общую внешнюю границу, взаимно однозначно и конформно отображаются друг на друга так, что при этом окружности, концентрической с граничной окружностью в одном кольце, соответствует в другом кольце кривая, обходимая в том же направлении. Тогда оба круговых кольца совпадают и конформное отображение представляет поворот около центра.

Не существует двух различных функций $w=f(z)$, однолистно отображающих единичный круг $\left|z\right|<1$ на заданную область $\mathfrak {G}$ так, что при этом $z=0$ переходит в заданную точку $w=w_{0}$ области $\mathfrak {G}$ и $f^{\prime }(0)>0$.

Единственными функциями, однолистно и конформно отображающими единичный круг $\left|z\right|<1$ сам на себя, являются линейные функции

где $\alpha$ вещественно, $\left|z_{0}\right|<1$.