Соотношения между отображениями различных областей

Пусть $\mathfrak {G}^{*}$ — правильная часть области $\mathfrak {G}$, $r_{a}$ и $r_{a}^{*}$ — внутренние радиусы областей $\mathfrak {G}$ и $\mathfrak {G}^{*}$ относительно одной и той же точки $a$, лежащей в $\mathfrak {G}^{*}$. Тогда

Аналогичное неравенство имеет место для внешних радиусов.

Пусть $\mathfrak {G}$ — произвольная область, $a$ — некоторая конечная точка этой области и $r$, соответственно $R$, — радиус наибольшей (соответственно наименьшей) окружности с центром в $a$, содержащейся в $\mathfrak {G}$ (соответственно содержащей $\mathfrak {G}$). Имеем $r>0$, $R \geqslant r$, $R$ конечно или бесконечно. Далее

причем равенство имеет место только тогда, когда $\mathfrak {G}$ — открытый круг с центром $a$.

Пусть область $\mathfrak {G}$ содержит бесконечно удаленную точку и $b$ — точка дополнительной области $\mathfrak {B}$. Обозначим через $r$, соотв. $R$, радиус наибольшего, соотв. наименьшего, замкнутого круга с центром в $a$, содержащегося в $\mathfrak {B}$, соотв. содержащего $\mathfrak {B}$. Имеем $r \geqslant 0$, $R \geqslant r$, $R$ конечно. Далее

причем равенство имеет место только тогда, когда $\mathfrak {B}$ — замкнутый круг.

Пусть $l$ — длина замкнутой простой непрерывной кривой $L$. Показать, что для всякой точки $a$, лежащей во внутренней области кривой $L$,

Равенство имеет место только для окружностей с центром в $a$. Аналогичное неравенство имеет место для внешнего радиуса.

Пусть $l$ — длина периметра эллипса с неравными полуосями $a$ и $b$. Дать два различных доказательства (с применением конформного отображения и без него) неравенства

Пусть область $\mathfrak {G}$ имеет внутреннюю жорданову меру $\left|\mathfrak {G}\right|_{i}$. Показать, что для любой конечной точки $a$, содержащейся в $\mathfrak {G}$,

Равенство имеет место лишь для круга $\left|z-a\right|<r_{a}$.

Пусть дополнение $\mathfrak {B}$ области $\mathfrak {G}$, содержащей бесконечно удаленную точку, имеет внешнюю жорданову меру $\left|\mathfrak {B}\right|_{e}$. Тогда

Равенство имеет место лишь в том случае, когда $\mathfrak {B}$ — круг.

Пусть замкнутая простая непрерывная кривая $L$ имеет внешний радиус $\bar{r}$ и внутренний радиус $r_{a}$, где $a$ — произвольная точка внутренней области кривой $L$. Тогда

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $L$ — окружность и $a$ — ее центр.

Пусть $L$ — замкнутая простая непрерывная кривая, охватывающая нулевую точку, $\bar{r}$ — ее внешний радиус и $r_{0}$ — внутренний радиус относительно нулевой точки. Пусть, далее, $P(z)$ — полином с младшим членом $a_{k} z^{k}$ и старшим членом $a_{n} z^{n}$:

и $M$ — максимум $\left|P(z)\right|$ на кривой $L$. Тогда

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $L$ — окружность с центром в нулевой точке и полином $P(z)$ имеет вид $c z^{n}$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна, имеет положительную вещественную часть внутри области, ограниченной замкнутой простой непрерывной кривой $L$, и непрерывна, включая границу. Если вещественная часть функции $f(z)$ обращается в нуль на некоторой дуге $L^{\prime }$ кривой $L$, то мнимая часть функции $f(z)$ монотонно убывает при положительном обходе дуги $L^{\prime }$.

Отобразим полосу $0<\mathrm{Im}\left(z\right)<D$ на круг $\left|w\right|<1$ таким образом, чтобы при этом точка $z=i$ переходила в центр круга $w=0$ $(D>1)$. Чему равна длина дуги окружности $\left|w\right|=1$, отвечающей при этом отображении вещественной оси $\mathrm{Im}\left(z\right)=0$? (При $D=2$ и $D=\infty$ тривиально.) Как изменяется указанная дуга при возрастании $D$?

Пусть замкнутые простые непрерывные кривые $L_{1}$ и $L_{2}$ имеют конечное число общих дуг и внутренняя область кривой $L_{1}$ содержится во внутренней области кривой $L_{2}$. ($L_{1}$ состоит из четного числа дуг, проходящих попеременно внутри и на границе области, ограничиваемой кривой $L_{2}$.)

Отобразим внутреннюю область кривой $L_{1}$, а затем кривой $L_{2}$ на одну и ту же внутреннюю круговую область так, чтобы в том и другом случае некоторая точка $O$, принадлежащая внутренней области кривой $L_{1}$, переходила в центр круга. Оба отображения сопоставляют дугам кривых $L_{1}$ и $L_{2}$ вполне определенные дуги граничной окружности [см. заключительное замечание определительного текста перед задачей 97].

Доказать, что длина дуги круга, соответствующей какой-либо общей дуге кривых $L_{1}$ и $L_{2}$, при отображении меньшей области (ограниченной $L_{1}$) будет меньше, чем при отображении большей (ограниченной $L_{2}$). Пример: 130.

Дать электростатическую интерпретацию теоремы 131.

Пусть замкнутые простые непрерывные кривые $L_{1}$ и $L_{2}$ имеют лишь конечное число общих точек и ограничиваемые ими области — общую часть $\mathfrak {S}$. Пусть далее $O$ — точка области $\mathfrak {S}$ и $\mathfrak {S}^{*}$ — связная часть области $\mathfrak {S}$, содержащая $O$. Дуги кривых $L_{1}$ и $L_{2}$, лежащие на границе $\mathfrak {S}^{*}$, назовем «видимыми» из $O$, не лежащие же на этой границе — «закрытыми». (Слова «видимые» и «закрытые» имеют обычный смысл, если кривые $L_{1}$ и $L_{2}$ звездообразны относительно $O$.)

Отобразим сначала внутреннюю область кривой $L_{1}$, а затем кривой $L_{2}$ на внутреннюю область единичного круга так, чтобы в обоих случаях $O$ переходила в центр круга. Тогда образы «видимых» частей кривой $L_{1}$ займут бо́льшую часть единичной окружности, чем образы «закрытых» частей кривой $L_{2}$. (Для большей наглядности представим себе $L_{2}$ в виде окружности с центром в $O$.)

Пусть $\mathfrak {B}$ — некоторая замкнутая область, $\zeta$ — ее внутренняя точка и $\mathfrak {K}$ — совокупность граничных точек области $\mathfrak {B}$, отстоящих от $\zeta$ на расстояние, не превышающее $\rho$. Пусть дуги окружности радиуса $\rho$ с центром в $\zeta$, не принадлежащие $\mathfrak {B}$, имеют общую длину $\rho \Omega$.

Пусть, далее, функция $f(z)$ регулярна и однозначна внутри и непрерывна на границе области $\mathfrak {B}$, причем в точках множества $\mathfrak {K}$ имеем $\left|f(z)\right| \leqslant a$, а в остальных граничных точках области $\mathfrak {B}$ $\left|f(z)\right| \leqslant A$, $a<A$. Тогда

Пусть односвязная область $\mathfrak {G}_{n}$ плоскости $z$ удовлетворяет следующим условиям:

1. $\mathfrak {G}_{n}$ лежит в круге $\left|z\right|<a$, $a>1$,

2. $\mathfrak {G}_{n}$ содержит круг $\left|z\right|<1$,

3. $\mathfrak {G}_{n}$ содержит дугу единичной окружности

   $$\left|z\right|=1, \quad -\alpha _{n}<\arg z<\alpha _{n} \quad \left(0<\alpha _{n}<\pi \right),$$

4. дополнительная дуга единичной окружности

   $$\left|z\right|=1, \quad \alpha _{n} \leqslant \arg z \leqslant 2 \pi -\alpha _{n}$$

   принадлежит границе области $\mathfrak {G}_{n}$. Пусть, далее, $\mathfrak {G}_{n}$ взаимно однозначно и конформно отображается с помощью функции $w=f_{n}(z)$ на единичный круг $\left|w\right|<1$ так, что при этом $f_{n}(0)=0$, $f_{n}^{\prime }(0)>0$.

Если при возрастании $n$ «перешеек», соединяющий единичный круг с остальной частью области $\mathfrak {G}_{n}$, все более и более стягивается, т. е. если $\lim_{n \rightarrow \infty } \alpha_{n}=0$, то

независимо от того, как ведет себя часть области $\mathfrak {G}_{n}$, лежащая за пределами единичного круга.