Вводный материал

Если целая рациональная функция

однолистна в единичном круге $\left|z\right|<1$, то $n\left|a_{n}\right| \leqslant 1$.

Если функция $w=f(z)$ однолистно отображает единичный круг $\left|z\right|<1$ на область $\mathfrak {G}$ и $\varphi (w)$ однолистна в $\mathfrak {G}$, то $\varphi [f(z)]$ однолистна в $\left|z\right|<1$.

Пусть функция $f(z)$ однолистна в единичном круге $\left|z\right|<1$ и $f(0)=0$. Тогда функция

(где взята какая-нибудь определенная ветвь квадратного корня) также будет однолистна в $\left|z\right|<1$. То же самое справедливо для $\sqrt[n]{f\left(z^{n}\right)}$ при любом целом положительном $n$.

Функция $\varphi (z)$, определенная в задаче 79, является наиболее общей нечетной функцией, однолистной в единичном круге $\left|z\right|<1$. Точнее говоря: какова бы ни была нечетная функция $\varphi (z)$, однолистная в $\left|z\right|<1$, существует такая функция $f(z)$, однолистная в $\left|z\right|<1$, из которой $\varphi (z)$ получается указанным в 79 образом.

Пусть открытый круг $\mathfrak {K}$ взаимно однозначно и конформно отображается на область $\mathfrak {G}$, и при этом, в частности, содержащийся в $\mathfrak {K}$ концентрический круг $\mathfrak {k}$ отображается на некоторую часть $\mathfrak {g}$ области $\mathfrak {G}$. Обозначим площади соответствующих областей через $\left|\mathfrak {K}\right|$, $\left|\mathfrak {G}\right|$, $\left|\mathfrak {k}\right|$, $\left|\mathfrak {g}\right|$. Тогда

Пусть открытый круг $\mathfrak {K}$ взаимно однозначно и конформно отображается на область $\mathfrak {G}$, причем центр $\mathfrak {k}$ круга $\mathfrak {K}$ переходит в точку $\mathfrak {g}$ области $\mathfrak {G}$. Пусть $a^{2}$ — поверхностное искажение в $\mathfrak {k}$ [III, часть I, стр. 123]. Тогда (в обозначениях задачи 81)

Пусть открытое круговое кольцо $\mathfrak {R}$ однозначно и конформно отображается на двусвязную область $\mathfrak {S}$. Обозначим наименьший открытый круг, содержащий $\mathfrak {R}$, через $\mathfrak {K}$; точки этого круга, не принадлежащие $\mathfrak {R}$, заполняют некоторый замкнутый круг $\mathfrak {k}$. Аналогично через $\mathfrak {G}$ обозначим наименьшую односвязную область, содержащую $\mathfrak {S}$, и через $\mathfrak {g}$ — множество точек области $\mathfrak {G}$, не принадлежащих $\mathfrak {S}$ ($\mathfrak {g}$ замкнуто). Если окружности кольца $\mathfrak {R}$, концентрические с $\mathfrak {k}$ и $\mathfrak {K}$, и кривые области $\mathfrak {S}$, в которые переходят эти окружности при отображении, обходятся в одинаковом направлении, то для площадей $\left|\mathfrak {G}\right|$, $\left|\mathfrak {g}\right|$, $\left|\mathfrak {K}\right|$ и $\left|\mathfrak {k}\right|$ имеет место соотношение