Теорема искажения Кёбе и смежные вопросы

Пусть функция

регулярна во внешней круговой области $\left|z\right|>1$ и однолистно отображает эту область на область $\mathfrak {G}$, содержащую бесконечно удаленную точку. Тогда

В частности, $\left|b_{1}\right| \leqslant 1$, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mathfrak {G}$ представляет собой плоскость, разрезанную вдоль отрезка длины $4$.

(Продолжение.) Во внешней круговой области $\left|z\right|>1$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда функция $g(z)$ имеет вид

$(\left|\varepsilon \right|=1, \rho >1)$, и достигается в точке $\frac{\rho }{\varepsilon }$. Какой вид имеет в этом случае область $\mathfrak {G}$?

При отображении, указанном в задаче 136, все кривые плоскости $w$, соответствующие концентрическим окружностям радиуса больше единицы с центром в $z=0$, — так называемые линии уровня — имеют общий конформный центр тяжести $b_{0}$ [III 129]. Мы будем называть $b_{0}$ конформным центром тяжести области $\mathfrak {G}$.

Пусть односвязная область $\mathfrak {G}$ содержит бесконечно удаленную точку и симметрична относительно некоторой точки $P$. Тогда $P$ служит конформным центром тяжести области $\mathfrak {G}$.

(Продолжение задачи 136.) Если область $\mathfrak {G}$ не содержит нулевой точки, то конформный центр тяжести этой области лежит внутри круга радиуса $2$ с центром в нулевой точке. Иными словами,

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\mathfrak {G}$ представляет собой плоскость, разрезанную вдоль отрезка длины $4$, выходящего из нулевой точки.

(Продолжение.) Расстояние $d$ произвольной граничной точки области $\mathfrak {G}$ от конформного центра тяжести не превосходит двух. Более того, для всех $\mathfrak {G}$, за исключением особого случая, указанного в конце задачи 136, $d<2$.

(Продолжение.) Максимальное расстояние $D$ между граничными точками области $\mathfrak {G}$ (диаметр границы области $\mathfrak {G}$) заключается между двумя и четырьмя:

Равенство в нижней оценке имеет место только тогда, когда $\mathfrak {G}$ представляет собой внешнюю область некоторого круга радиуса $1$, а в верхней оценке — когда $\mathfrak {G}$ есть плоскость с вырезом вдоль отрезка длины $4$ (см. задачу 136).

Среди всех непрерывных криволинейных дуг, соединяющих две неподвижные точки, наименьший внешний радиус имеет прямолинейный отрезок.

Пусть область $\mathfrak {G}$ задачи 136 имеет конформным центром тяжести $0$. Тогда

Равенство имеет место только для отображения $w=z+\frac{e^{i \alpha }}{z}$, $\alpha$ вещественно.

(Продолжение.) При указанном отображении ни одна точка $z$ не может сместиться со своего первоначального положения больше чем на $\frac{3}{\left|z\right|}$. Иными словами,

Исследовать смещение [144] при отображении внешней круговой области на плоскость, разрезанную вдоль подковообразной кривой, состоящей из трех прямолинейных отрезков, последовательно соединяющих точки

Рассмотреть, в частности, случай, когда $a \rightarrow 2$, $\delta \rightarrow 0$, и показать на этом примере, что коэффициент $3$ в неравенстве задачи 144 не может быть заменен меньшим.

Пусть функция

регулярна и однолистна в единичном круге $\left|z\right|<1$. Тогда

причем равенство имеет место лишь для функций вида

Пусть функция

однолистна в круге $\left|z\right|<R$. Если область $\mathfrak {G}$ плоскости $w$, на которую отображается этот круг, не содержит бесконечно удаленной точки, то она целиком содержит открытый круг $\left|w\right|<\frac{R}{4}$. Иными словами, обозначая через $d$ кратчайшее расстояние границы области $\mathfrak {G}$ от точки $w=0$, имеем $d \geqslant \frac{R}{4}$. Более того, $d>\frac{R}{4}$, если только $\mathfrak {G}$ не представляет собой плоскости, разрезанной вдоль луча $\arg w=\mathrm{const.}$, $\frac{R}{4} \leqslant \left|w\right|<+\infty$.

Неравенство задачи 147 можно уточнить следующим образом:

(См. 146.) Равенство достигается для области, указанной в 147.

(Продолжение задачи 147.) Отрезок, соединяющий две граничные точки области $\mathfrak {G}$ и проходящий через нулевую точку, мы будем называть главной хордой области $\mathfrak {G}$. Всякая главная хорда области $\mathfrak {G}$ имеет длину, не меньшую чем $R$. Указанная нижняя граница $R$ достигается лишь в том случае, когда область $\mathfrak {G}$ представляет собой плоскость, разрезанную вдоль обоих лучей $w= \pm \left|w\right| e^{i \alpha }$, $\alpha$ вещественно, $\frac{R}{2} \leqslant \left|w\right|<+\infty$. (116.)

(Продолжение задачи 146.) В единичном круге $\left|z\right|<1$ выполняется неравенство

Равенство имеет место только тогда, когда область, в которую отображается указанный круг, представляет собой плоскость с прямолинейным вырезом.

(Теорема Кёбе о линейном искажении, так называемый Verzerrungssatz.) Пусть функция

регулярна и однолистна в единичном круге $\left|z\right|<1$ и $r$ — положительное число, $r<1$. Тогда в круге $\left|z\right| \leqslant r$ имеют место неравенства

Равенство может достигаться только при отображениях вида

(Продолжение.) В круге $\left|z\right| \leqslant r$ имеет место неравенство

Равенства достигаются только при отображениях, указанных в задаче 151.

Неравенство задачи 152 можно уточнить следующим образом: в круге $\left|z\right| \leqslant r$

Равенства достигаются для тех же отображений, что и в 151. (Обобщение теоремы 148.)

Для нечетных функций $f(z)=-f(-z)$ неравенство задачи 152 можно уточнить следующим образом:

Равенство достигается только для $f(z)=\frac{z}{1-z^{2}}$.

(Продолжение.) Имеем

(Продолжение задачи 152.) Пусть $n$ — целое положительное число. Существует такая функция $\omega_{n}(r)$, зависящая только от $n$ и $r$, $0 \leqslant r<1$, что для каждой функции $f(z)$ задачи 151 в круге $\left|z\right| \leqslant r$ выполняется неравенство

(Продолжение.) Пусть $n$ — целое положительное число, $n \geqslant 2$. Существует такая зависящая только от $n$ постоянная $\omega_{n}$, что для каждой функции $f(z)$ задачи 151 выполняется неравенство

Пусть $\omega_{n}$ — наименьшая из этих постоянных. Тогда

(Продолжение.) Имеем

(Продолжение.) Имеет место следующее уточнение неравенства задачи 157:

Для функций

в единичном круге $\left|z\right|<1$ однолистных и по модулю меньших, чем $M$, неравенство задачи 146 можно уточнить следующим образом: $M \geqslant 1$ (равенство только для $f(z)=z$) и

Когда достигается равенство?

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<1$ и отображает его на область, звездообразную относительно нулевой точки [III 109]. Тогда

Равенство имеет место только для функций вида

Пусть функция

регулярна в единичном круге $\left|z\right|<1$ и отображает его на некоторую выпуклую область [III 108]. Тогда

Равенство имеет место лишь для функций вида

при этом круг переходит в полуплоскость, которая содержит нулевую точку и граничная прямая которой отстоит от этой точки на расстояние $\frac{1}{2}$.

Если функция $f(z)$ регулярна и однолистна в единичном круге $\left|z\right|<1$, то все круги $\left|z\right|<r$ при $r \leqslant 2-\sqrt{3}=0{,}26 \ldots$ отображаются с ее помощью на выпуклые области. Это число $2-\sqrt{3}$ — граница выпуклости — не может быть заменено меньшим.