Существование отображающей функции

При отображении, осуществляемом с помощью формулы

точке плоскости $z$ соответствуют, вообще говоря, две точки плоскости $w$. Какие точки $z$ составляют исключение?

Пусть $\mathfrak {G}$ — односвязная область плоскости $z$, лежащая в круге $\left|z\right|<1$ и содержащая точку $z=0$. Осуществим отображение задачи 88, принимая за $a$ ближайшую к $z=0$ точку на границе области $\mathfrak {G}$, $\left|a\right|<1$ (если таких точек не одна, то выбираем из них, скажем, точку с наименьшим аргументом, $0 \leqslant \arg a<2 \pi$). Тогда это отображение относит области $\mathfrak {G}$ две области $\mathfrak {G}^{*}$ и $\mathfrak {G}^{**}$ плоскости $w$, из которых одна, $\mathfrak {G}^{*}$, содержит точку $w=0$, а другая, $\mathfrak {G}^{**}$, ее не содержит. $\mathfrak {G}^{*}$ и $\mathfrak {G}^{**}$ не имеют общих точек, хотя и обладают по меньшей мере одной общей граничной точкой; обе они содержатся внутри единичного круга.

Исследовать область Кёбе для области, получаемой из единичного круга $\left|z\right|<1$ посредством удаления отрезка $a \leqslant z<1$, $0<a<1$. Определить, в частности, граничную точку, ближайшую к нулевой.

Исследовать область Кёбе для круга $\left|z\right|<a$, $0<a<1$ и определить ближайшую к нулевой и наиболее удаленную от нее граничные точки.

Каждая точка области Кёбе для $\mathfrak {G}$ более удалена от нулевой точки, чем соответствующая ей точка области $\mathfrak {G}$.

Пусть $\mathfrak {G}_{1}$ — область Кёбе для $\mathfrak {G}$, $\mathfrak {G}_{2}$ — область Кёбе для $\mathfrak {G}_{1}$, $\mathfrak {G}_{3}$ — для $\mathfrak {G}_{2}$ и т. д. Пусть далее $a, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ — ближайшие к нулевой граничные точки соответственно областей $\mathfrak {G}, \mathfrak {G}_{1}, \mathfrak {G}_{2}, \mathfrak {G}_{3}, \ldots$ Тогда $\left|a\right|<\left|a_{1}\right|<\left|a_{2}\right|<\left|a_{3}\right|<\ldots$

(Продолжение.) При помощи отображения Кёбе $\mathfrak {G}$ однозначно и конформно отображается на $\mathfrak {G}_{1}$, $\mathfrak {G}_{1}$ — на $\mathfrak {G}_{2}, \ldots$, $\mathfrak {G}_{n-1}$ — на $\mathfrak {G}_{n}$. Пусть результирующее отображение области $\mathfrak {G}$ на $\mathfrak {G}_{n}$ осуществляется посредством аналитической функции $f_{n}(z)$ ($z$ пробегает точки области $\mathfrak {G}$). Имеем

Выразить $f_{n}^{\prime }(0)$ через $a, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n-1}$.

Показать на основании 94, что для точек $a, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ задачи 93 имеет место предельное соотношение

(Продолжение задач 93, 94.) В каждой точке $z$ области $\mathfrak {G}$ существует

причем во всякой внутренней замкнутой области сходимость равномерна. Предельная функция $f(z)$ однолистно отображает область $\mathfrak {G}$ на внутреннюю область единичной окружности.