Последовательности аналитических функций

В предположениях и обозначениях предыдущей задачи имеем:

Вывести эту формулу из формулы Лагранжа или, обратно, формулу Лагранжа из этой, правильно используя условия, при которых каждая из этих формул имеет место.

Доказать формулу задачи 207 непосредственно, выражая коэффициенты при $w^{n}$ с помощью интеграла Коши.

Разложить корень трансцендентного уравнения

обращающийся при $w=0$ в нуль, по возрастающим степеням $w$.

(Продолжение.) Разложить $e^{\alpha z}$, где $\alpha$ — произвольная постоянная, по степеням $w$.

Разложить по возрастающим степеням $w$ тот корень $x$ трехчленного уравнения

который при $w=0$ обращается в единицу.

(Продолжение.) Разложить $x^{\alpha }$, где $\alpha$ — произвольная постоянная, по степеням $w$. ($x^{\alpha }=y$ является решением трехчленного уравнения

)

(Продолжение.) Рассмотреть частные случаи $\beta =0,1,2,-1, \frac{1}{2}$ и вывести разложения 209, 210 путем предельного перехода из 211, 212.

Найти сумму степенного ряда

Каков радиус сходимости этого ряда?

Доказать теорему 156, опираясь на результаты задачи 214.

Ряд

в случае, если $\alpha$ и $\beta$ — рациональные числа, представляет алгебраическую функцию от $w$.

Выпишем последовательные степени трехчлена $1+w+w^{2}$ в треугольную таблицу

Тогда сумма средних членов (набранных в таблице жирным шрифтом) равна

Выпишем последовательные степени бинома $1+w$ в треугольную таблицу

(треугольник Паскаля). Определить сумму средних членов (набранных в таблице жирным шрифтом) и вообще сумму членов любого вертикального ряда.

Чему равны производящие функции полиномов $P_{n}(x)$, $P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x)$, $L_{n}^{(\alpha )}(x)$, определенных следующими формулами:

Для $F(z)=e^{s z}$, где $s$ — достаточно малое по модулю постоянное число, имеют место следующие формулы:

Формулы 1, 2, 3 и 4 задачи 220 справедливы для любой целой рациональной функции $F(z)$ (в этом случае, конечно, ряды обрываются).

Формулы 1, 2 задачи 220 справедливы также для любой дробной рациональной функции $F(z)$, если только вещественная часть $z$ превосходит вещественные части всех полюсов $F(z)$, расположенных на конечном расстоянии. При этом для справедливости формулы 1 необходимо наложить еще то ограничение, что $F(z)$ регулярна в точках $z=0,1,2,3, \ldots$

Справедливы ли и формулы 3, 4 для дробных рациональных функций?

При произвольных коэффициентах $a_{k}$, $k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$,

Пусть

Показать, что

Пусть

Показать, что

где положено $a_{-n}=a_{n}$.

Для

имеет место формула

где положено $a_{-n}=-a_{n}$.

$\prod_{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{z(1-z)}{n(n+1)}\right)=\frac{\sin \pi z}{\pi z(1-z)}$.

$\sin \pi z$ является однозначной функцией от $w=z(1-z)$. Показать, что все коэффициенты разложения $\sin \pi z$ по степеням $w$ (за исключением свободного члена) положительны [227].

Показать, что

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Выразить коэффициенты $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ через вещественную, соответственно мнимую, часть $f(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$, $0<r<R$.

(Продолжение.) Положим $\mathrm{Re}\left(f\left(r e^{i \vartheta }\right)\right)=U(r, \vartheta )$. Если $f(0)$ вещественно, то в круге $\left|z\right|<r$

(Продолжение.) Если $f(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$ не обращается в нуль, а в круге $\left|z\right|<r$ имеет нули $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{m}$, то в этом круге

где $\gamma$ — некоторое вещественное постоянное число.

Пусть функция $f(z)$ регулярна и имеет положительную вещественную часть в открытом круге $\left|z\right|<R$ и, кроме того, непрерывна в замкнутом круге $\left|z\right| \leqslant R$. Если вещественная часть функции $f(z)$ тождественно равна нулю на некоторой дуге граничной окружности, то мнимая часть $f(z)$ на этой дуге монотонно изменяется, а именно убывает при возрастании аргумента $z$.

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Положим $f\left(r e^{i \vartheta }\right)=U(r, \vartheta )+i V(r, \vartheta )$, где $U(r, \vartheta )$ и $V(r, \vartheta )$ вещественны. Тогда соотношение

будет иметь место для всех $r$ в интервале $0<r<R$, если оно удовлетворяется для $r=0$.

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<1$ и имеет в нем положительную вещественную часть. Тогда

Ни в одном из этих неравенств нельзя заменить единицу меньшим числом.

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<R$, причем в этом круге $\mathrm{Re}\left(f(z)\right)<A$. Тогда для всех $r$ в интервале $0<r<R$ имеет место неравенство

Пример.

Пусть ряд Лорана

сходится в кольцеобразной области $0<\left|z\right|<\infty$ (шаровая поверхность с изъятыми полюсами) и в точках $z=0$ и $z=\infty$ имеет существенные особенности. Обозначим максимум вещественной части функции $\psi (z)$ на окружности $\left|z\right|=r$ через $A(r)$. Тогда $A(r)$ при $r \rightarrow \infty$ возрастает быстрее любой сколь угодно большой степени $r$, а при $r \rightarrow 0$ — быстрее любой сколь угодно большой степени $\frac{1}{r}$. Более точно

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Обозначим через $\Delta (f)$ наибольшее колебание вещественной части $f(z)$ в круге $\left|z\right|<R$, т. е. верхнюю грань для $\left|\mathrm{Re}\left(f\left(z_{1}\right)\right)-\mathrm{Re}\left(f\left(z_{2}\right)\right)\right|$ при $\left|z_{1}\right|<R$, $\left|z_{2}\right|<R$. Тогда

При этом постоянная $\frac{2}{\pi }$ здесь не может быть заменена меньшей. Какую геометрическую интерпретацию можно дать этой теореме?

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Обозначим через $D(f)$ наибольшее колебание $f(z)$ в круге $\left|z\right|<R$, т. е. верхнюю грань для $\left|f\left(z_{1}\right)-f\left(z_{2}\right)\right|$ при $\left|z_{1}\right|<R$, $\left|z_{2}\right|<R$. Тогда

При этом $\frac{1}{2}$ не может быть заменена здесь меньшей постоянной. Каков геометрический смысл этой теоремы?

Пусть функция $f(z)$ подчинена следующим условиям:

1. $f(z)$ регулярна и $\left|f(z)\right| \leqslant M$ в круге $\left|z-s\right| \leqslant r$.

2. $f(z)$ не обращается в нуль в замкнутом полукруге $\left|z-s\right| \leqslant r$, $\mathrm{Re}\left(z-s\right) \geqslant 0$.

3. $f(z)$ в круге $\left|z-s\right| \leqslant \frac{2}{3} r$ имеет нули $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{l}$. Тогда

Если степенной ряд имеет своим кругом сходимости единичный круг, причем на границе этого круга лежат лишь полюсы первого порядка (и нет никаких других особенностей), то тогда последовательность коэффициентов ограничена.

Если на границе круга сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}$ лежит лишь одна особая точка $z_{0}$, а именно полюс, то тогда

Пусть $\sum_{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}$ — степенное разложение рациональной функции, знаменатель которой (предположенный взаимно простым с числителем) имеет степень $q$. Пусть $\rho$ будет радиус сходимости и $A_{n}$ — наибольшее из $q$ чисел $\left|a_{n}\right|, \left|a_{n-1}\right|, \ldots , \left|a_{n-q+1}\right|$. Тогда

($\lim$, а не $\limsup$!).

Пусть $v_{n}$ — число не равных нулю из $n$ чисел $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n-1}$. Если на границе круга сходимости степенной ряд $a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots$ имеет лишь полюсы (и никаких других особенностей), то число этих полюсов $\geqslant \limsup_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{v_{n}}$.

Пример.

Пусть коэффициенты $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}, \ldots$ степенного ряда $a_{0}+a_{1} z+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots$ вещественны и на границе его круга сходимости имеются лишь два полюса $\rho e^{i \alpha }$ и $\rho e^{-i \alpha }$ ($0<\alpha <\pi$) и никаких других особенностей. Обозначим число перемен знаков в последовательности $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n-1}, a_{n}$ через $V_{n}$. Тогда [VIII 14]

Если среди особых точек на границе круга сходимости имеется хотя бы один полюс, то степенной ряд не может сходиться ни в одной граничной точке.

Если степенной ряд

сходящийся в единичном круге, представляет функцию, регулярную в точке $z=1$, то ряд Дирихле

(предполагаемый сходящимся для некоторых значений $s$) представляет целую функцию. Если $f(z)$ имеет в точке $z=1$ полюс $h$-го порядка, то $D(s)$ представляет мероморфную функцию, полюсами которой могут служить лишь точки $s=1,2,3, \ldots , h$ (лишь последняя необходимо будет полюсом), причем все полюсы — первого порядка.

Пусть числовая последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ подчинена условию

Тогда ряд

сходится в бесконечной полосе

плоскости $s$ и притом абсолютно и равномерно в каждой внутренней полосе $-h+\varepsilon \leqslant \mathrm{Re}\left(s\right) \leqslant h-\varepsilon$, $\varepsilon >0$, и представляет в этой бесконечной полосе аналитическую функцию $\Phi (s)$. Эта функция может быть тождественно равна нулю лишь в том случае, если все коэффициенты $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ равны нулю.

Пусть степенной ряд

сходится внутри единичного круга, причем его значение вместе со значениями всех его производных стремится к нулю, когда $z$ приближается по вещественной оси к точке $z=1$, т. е. $\lim_{z \rightarrow 1} f^{(n)}(z)=0$, $n=0,1,2, \ldots$ Тогда либо

1. $f(z)$ тождественно равна нулю, т. е. $a_{n}=0$, $n=0,1,2, \ldots$, либо

2. $z=1$ есть особая точка функции $f(z)$. Если указанный степенной ряд сходится в некотором круге, большем, чем единичный, т. е. если

то необходимо имеет место случай 1). Вывести то же заключение из более слабого предположения

Последнее утверждение задачи 249 уже несправедливо, если на коэффициенты $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ ряда $f(z)$ вместо условия $\limsup_{n \rightarrow \infty } \frac{\ln \left|a_{n}\right|}{\sqrt{n}}<0$ наложено более слабое условие

Если ряд

сходится хотя бы в одной точке регулярности функции $g(z)$, то эта функция является целой и ряд сходится в каждой точке, притом равномерно во всякой ограниченной области плоскости $z$.

Если последовательность

ограничена хотя бы в одной точке, то $g(z)$ является целой функцией и последовательность остается ограниченной во всех точках плоскости $z$, причем всюду имеет один и тот же верхний предел.

Пусть

— две бесконечные числовые последовательности, из которых вторая последовательность произвольна, а в первой $a_{n} \neq 0$, $a_{m} \neq a_{n}$ для $m, n=0,1,2, \ldots$, $m \neq n$, и ряд

абсолютно сходится. Уравнениями

однозначно определяется полином $Q_{n}(z)$ степени $\leqslant n$. Если последовательность

сходится хотя бы в одной точке, отличной от $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$, то она сходится во всех точках $z$ и притом равномерно во всякой ограниченной области плоскости $z$.

Пусть

— произвольная бесконечная в обе стороны числовая последовательность и $Q_{2 n}(z)$ — полином степени $2 n$, удовлетворяющий условиям

Если последовательность полиномов

сходится хотя бы в двух различных нецелочисленных точках, то она сходится в каждой точке $z$ и притом равномерно во всякой ограниченной области плоскости $z$.

Пусть даны произвольная числовая последовательность $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n}, \ldots$ и полином $Q_{n}(z)$ степени $\leqslant n$, однозначно определенный $n+1$ условиями

Если последовательность

сходится хотя бы в одной точке, отличной от $z=0$, то она сходится во всех точках $z$ и притом равномерно во всякой ограниченной области плоскости $z$.

Пусть функции $f_{0}(z), f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z), \ldots$ в круге $\left|z\right|<1$ регулярны, отличны от нуля и все по модулю меньше единицы. Если $\lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}(0)=0$, то $\lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}(z)=0$ во всем круге $\left|z\right|<1$ и притом равномерно во всяком внутреннем круге.

Пусть гармонические функции

регулярны и всюду положительны в некоторой области $\mathfrak {G}$ плоскости $x, y$. Если ряд

сходится хотя бы в одной точке области $\mathfrak {G}$, то он сходится во всей этой области и притом равномерно в каждой ее ограниченной замкнутой подобласти.

Пусть функции $f_{0}(z), f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z), \ldots$ регулярны в области $\mathfrak {G}$, причем вещественные части их в каждой ограниченной замкнутой подобласти равномерно сходятся. Тогда последовательность мнимых частей либо не сходится ни в одной точке, либо равномерно сходится в каждой ограниченной замкнутой подобласти.

Ряд

равномерно сходится в каждой замкнутой области, лежащей целиком внутри или целиком вне единичного круга, и имеет суммой $z$ или $1$, смотря по тому, будет ли $\left|z\right|<1$ или $\left|z\right|>1$. [I 14.]

Ряд

где $\alpha$ — произвольное постоянное число $\neq 0$, равномерно сходится для всех положительных значений $x$. В интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$ он представляет функцию $e^{\alpha x}$, а в интервале $1<x<\infty$ — отличную от нее аналитическую функцию.

Последовательность функций с общим членом

равномерно сходится в каждой ограниченной замкнутой области, не содержащей точек мнимой оси.

Пусть

где

Последовательность «итерированных функций»

сходится к $+1$ для $\mathrm{Re}\left(z\right)>0$, сходится к $-1$ для $\mathrm{Re}\left(z\right)<0$, наконец, расходится для $\mathrm{Re}\left(z\right)=0$.

Пусть $z=r e^{i \varphi }$ и $h(\varphi )$ — опорная функция неограниченной выпуклой области, рассмотренной в задаче 114. Показать, что последовательность

ограничена во всей полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ [12, II 220]; $h(\varphi )$ является наименьшей функцией угла $\varphi$, обладающей этим свойством.

Пусть $h(\varphi )$ — опорная функция выпуклой области задачи 115; показать, что последовательность