Банк задач по математике

Задача 3.207

В предположениях и обозначениях предыдущей задачи имеем:

\frac{f(z)}{1-w \varphi ^{\prime }(z)}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{w^{n}}{n!}\left[\frac{d^{n} f(x)[\varphi (x)]^{n}}{d x^{n}}\right]_{x=0} .

Вывести эту формулу из формулы Лагранжа или, обратно, формулу Лагранжа из этой, правильно используя условия, при которых каждая из этих формул имеет место.

?

Задача 3.208

Доказать формулу задачи 207 непосредственно, выражая коэффициенты при $w^{n}$ с помощью интеграла Коши.

?

Задача 3.209

Разложить корень трансцендентного уравнения

z e^{-z}=w,

обращающийся при $w=0$ в нуль, по возрастающим степеням $w$ .

?

Примечание.

?

L. Euler, De serie Lambertiana, Opera Omnia, серия 1, t. 6, стр. 354, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1921.

Задача 3.210

(Продолжение.) Разложить $e^{\alpha z}$ , где $\alpha$ — произвольная постоянная, по степеням $w$ .

?

Задача 3.211

Разложить по возрастающим степеням $w$ тот корень $x$ трехчленного уравнения

1-x+w x^{\beta }=0,

который при $w=0$ обращается в единицу.

?

Задача 3.212

(Продолжение.) Разложить $x^{\alpha }$ , где $\alpha$ — произвольная постоянная, по степеням $w$ . ( $x^{\alpha }=y$ является решением трехчленного уравнения

1-y^{\frac{1}{\alpha }}+w y^{\frac{\beta }{\alpha }}=0 .

)

?

Примечание.

?

См. l. c. 209, стр. 350.

Задача 3.213

(Продолжение.) Рассмотреть частные случаи $\beta =0,1,2,-1, \frac{1}{2}$ и вывести разложения 209, 210 путем предельного перехода из 211, 212.

?

Задача 3.214

Найти сумму степенного ряда

1+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(n+\alpha )^{n} w^{n}}{n!} .

Каков радиус сходимости этого ряда?

?

Задача 3.215

Доказать теорему 156, опираясь на результаты задачи 214.

?

Задача 3.216

Ряд

1+\binom {\alpha +\beta }{1} w+\binom {\alpha +2 \beta }{2} w^{2}+\ldots +\binom {\alpha +n \beta }{n} w^{n}+\ldots

в случае, если $\alpha$ и $\beta$ — рациональные числа, представляет алгебраическую функцию от $w$ .

?

Примечание.

?

По поводу 216—218, 225, 226 см. G. Pólya, Ens. Math., т. 22, стр. 38—47, 1922.

Задача 3.217

Выпишем последовательные степени трехчлена $1+w+w^{2}$ в треугольную таблицу

\begin{gathered} 1 \\ 1+w+w^{2} \\ 1+2 w+3 w^{2}+2 w^{3}+w^{4} \\ 1+3 w+6 w^{2}+7 w^{3}+6 w^{4}+3 w^{5}+w^{6} \\ \ldots \ldots \end{gathered}

Тогда сумма средних членов (набранных в таблице жирным шрифтом) равна

1+w+3 w^{2}+7 w^{3}+\ldots =\frac{1}{\sqrt{1-2 w-3 w^{2}}} .

?

Примечание.

?

L. Euler, Opuscula analytica, t. 1, стр. 48—62, Petropoli, 1783.

Задача 3.218

Выпишем последовательные степени бинома $1+w$ в треугольную таблицу

\begin{gathered} 1 \\ 1+w \\ 1+2 w+w^{2} \\ 1+3 w+3 w^{2}+w^{3} \\ 1+4 w+6 w^{2}+4 w^{3}+w^{4} \end{gathered}

(треугольник Паскаля). Определить сумму средних членов (набранных в таблице жирным шрифтом) и вообще сумму членов любого вертикального ряда.

?

Задача 3.219

(1)(2)(3)

Чему равны производящие функции полиномов $P_{n}(x)$ , $P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x)$ , $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ , определенных следующими формулами:

?

(1)

$P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}$ (полиномы Лежандра);

(2)

$(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta } P_{n}^{(\alpha , \beta )}(x)=\frac{(-1)^{n}}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left[(1-x)^{n+\alpha }(1+x)^{n+\beta }\right]$ , $\alpha >-1$ , $\beta >-1$ (полиномы Якоби);

(3)

$e^{-x} x^{\alpha } L_{n}^{(\alpha )}(x)=\frac{1}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(e^{-x} x^{n+\alpha }\right)$ , $\alpha >-1$ (обобщенные полиномы Лагерра).

Примечание.

?

См. VI 84, VI 98, VI 99. Под производящей функцией полиномов Лежандра понимают ряд

\begin{aligned} P_{0}(x)+P_{1}(x) w+P_{2}(x) w^{2}+\ldots +P_{n}(x) w^{n} & +\ldots = \\ & =1+x w+\frac{3 x^{2}-1}{2} w^{2}+\ldots , \end{aligned}

сумму которого как функцию от $x$ и $w$ нужно определить. Аналогично для остальных случаев.

Задача 3.220

(1)(2)(3)(4)

Для $F(z)=e^{s z}$ , где $s$ — достаточно малое по модулю постоянное число, имеют место следующие формулы:

?

(1)

\begin{aligned} F(z)=F(0)+\frac{z}{1!} \Delta F(0)+ & \frac{z(z-1)}{2!} \Delta ^{2} F(0)+\ldots \\ & \ldots +\frac{z(z-1) \ldots (z-n+1)}{n!} \Delta ^{n} F(0)+\ldots \end{aligned}

(2)

\begin{aligned} & F^{\prime }(z)= \\ & =\Delta F(z)-\frac{1}{2} \Delta ^{2} F(z)+\frac{1}{3} \Delta ^{3} F(z)-\ldots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n} \Delta ^{n} F(z)+\ldots \end{aligned}

(3)

[210]

\begin{aligned} F(z)=F(0)+\frac{z}{1!} F^{\prime }(1)+\frac{z(z-2)}{2!} & F^{\prime \prime }(2)+\ldots \\ & \ldots +\frac{z(z-n)^{n-1}}{n!} F^{(n)}(n)+\ldots \end{aligned}

(4)

[212, 216]

\begin{aligned} & F(z)=F(0)+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{z^{2}\left(z^{2}-1^{2}\right)\left(z^{2}-2^{2}\right) \ldots \left[z^{2}-(n-1)^{2}\right]}{(2 n)!} \Delta ^{2 n} F(-n)+ \\ & +\sum _{n=1}^{\infty } \frac{z\left(z^{2}-1^{2}\right)\left(z^{2}-2^{2}\right) \ldots \left[z^{2}-(n-1)^{2}\right]}{(2 n-1)!} \frac{\Delta ^{2 n-2}[F(-n+2)-F(-n)]}{2} \end{aligned}

Задача 3.221

Формулы 1, 2, 3 и 4 задачи 220 справедливы для любой целой рациональной функции $F(z)$ (в этом случае, конечно, ряды обрываются).

?

Примечание.

?

По поводу формул 2, 3 см. N. H. Abel, Oeuvres, т. 2, Nouvelle édition, стр. 72, 73, Christiania, Grøndahl Son, 1881.

Задача 3.222

Формулы 1, 2 задачи 220 справедливы также для любой дробной рациональной функции $F(z)$ , если только вещественная часть $z$ превосходит вещественные части всех полюсов $F(z)$ , расположенных на конечном расстоянии. При этом для справедливости формулы 1 необходимо наложить еще то ограничение, что $F(z)$ регулярна в точках $z=0,1,2,3, \ldots$

Справедливы ли и формулы 3, 4 для дробных рациональных функций?

?

Задача 3.223

При произвольных коэффициентах $a_{k}$ , $k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ ,

(1-z)^{n} \sum _{k=-\infty }^{\infty } a_{k} z^{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty } \Delta ^{n} a_{k} z^{n+k} .

?

Задача 3.224

Пусть

F(z)=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots

Показать, что

\frac{1}{1+t} F\left(\frac{t}{1+t}\right)=a_{0}+\Delta a_{0} t+\Delta ^{2} a_{0} t^{2}+\ldots +\Delta ^{n} a_{0} t^{n}+\ldots

?

Задача 3.225

Пусть

F(z)=a_{0}+2 a_{1} z+2 a_{2} z^{2}+\ldots +2 a_{n} z^{n}+\ldots

Показать, что

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{1+4 t}} F\left(\frac{1+2 t-\sqrt{1+4 t}}{2 t}\right) & = \\ = & a_{0}+\Delta ^{2} a_{-1} t+\Delta ^{4} a_{-2} t^{2}+\ldots +\Delta ^{2 n} a_{-n} t^{n}+\ldots , \end{aligned}

где положено $a_{-n}=a_{n}$ .

?

Задача 3.226

Для

F(z)=2 a_{1} z+2 a_{2} z^{2}+2 a_{3} z^{3}+\ldots +2 a_{n} z^{n}+\ldots

имеет место формула

\begin{aligned} & \frac{1}{t} F\left(\frac{1+2 t-\sqrt{1+4 t}}{2 t}\right)=a_{1}-a_{-1}+\left(\Delta ^{2} a_{0}-\Delta ^{2} a_{-2}\right) t+ \\ & \quad +\left(\Delta ^{4} a_{-1}-\Delta ^{4} a_{-3}\right) t^{2}+\ldots +\left(\Delta ^{2 n} a_{-n+1}-\Delta ^{2 n} a_{-n-1}\right) t^{n}+\ldots \end{aligned}

где положено $a_{-n}=-a_{n}$ .

?

Задача 3.227

$\prod_{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{z(1-z)}{n(n+1)}\right)=\frac{\sin \pi z}{\pi z(1-z)}$ .

?

Задача 3.228

$\sin \pi z$ является однозначной функцией от $w=z(1-z)$ . Показать, что все коэффициенты разложения $\sin \pi z$ по степеням $w$ (за исключением свободного члена) положительны [227].

?

Примечание.

?

I. Schur.

Задача 3.229

Показать, что

\left[\frac{d^{n}(\pi -x)^{-n-1} \cos x}{d x^{n}}\right]_{x=0}>0 \quad (n=0,1,2, \ldots ) .

?

Ряд Лагранжа. Приложения